靈活應(yīng)對線性規(guī)劃的問題
銀川外國語實驗中學(xué) 于晶
【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃 構(gòu)造 目標(biāo)函數(shù)
【摘要】線性規(guī)劃是近幾年高中教材的新增內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)的必要環(huán)節(jié)，因為應(yīng)用它可以更好的解決生活中的很多關(guān)于生產(chǎn)利潤最大以及材料最省等問題，也是高中數(shù)形結(jié)合思想方法的一個更好的體現(xiàn)，正因為如此，所以線性規(guī)劃已作為數(shù)學(xué)教學(xué)中一個必考項目，通過一組數(shù)據(jù)可以很直觀看出它的的地位，僅僅統(tǒng)計07，08年兩年高考全國18個省市36份試卷，“線性規(guī)劃”就考查了24次，其中大部分作為填空題出現(xiàn)。
鑒于此，我們很有必要讓學(xué)生深刻理解掌握線性規(guī)劃的內(nèi)容，應(yīng)用與實際生活中，作為高考應(yīng)試，也很有必要讓學(xué)生把此內(nèi)容系統(tǒng)掌握，因而，筆者聯(lián)系自己的教學(xué)實踐，并從精選一些有代表性的試題，多角度分析說明。具體有以下兩個方面。
一、利用線性規(guī)劃解決實際應(yīng)用問題
問題：本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告費標(biāo)準(zhǔn)分別分500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的廣告每分鐘能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元，問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元。
[分析】應(yīng)用線性規(guī)劃求解實際問題的步驟；
從已知條件中建立數(shù)學(xué)模型; 1、設(shè)出所求的未知量；2、列出約束條件，（即不等式）3、建立目標(biāo)函數(shù)；4、做出可行域，運用圖解法求最優(yōu)解，
解，設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告時間分別為x分鐘,y分鐘，總收益為z,由題意可得
目標(biāo)函數(shù)為 z=3000x+2000y,二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如果作直線L;3000x+2000y=0,即
3x+2y=0,從圖可知當(dāng)直線L;過M點時，目標(biāo)函數(shù)取最大值，聯(lián)立
解得 X=100,Y=200的點M坐標(biāo)為（100，200）
∴
=3000×100+2000×200=700000
答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200時，該公司收益最大，且最大為70萬元。
二、線性規(guī)劃中幾種目標(biāo)函數(shù)及解法
這類問題一般典型題法就是： 一個目標(biāo)，一組條件，典型解法是幾何代數(shù)并用，即根據(jù)條件畫出區(qū)域，應(yīng)用圖解法來解決問題，因目標(biāo)函數(shù)不同所以解決的思路在具體問題中就有各自的差異，下面筆者就結(jié)合具體題型來作以強化說明，
【題型1】：對于目標(biāo)函數(shù)是z=ax+by或者直接給出ax+by這樣類型的問題說求它的最大值或最小值問題，如是ax+by的形式，則先設(shè)Z=ax+by
解法一（截距法）
將Z=ax+by變形為
將
看作是直線在y軸上的截距，問題就轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)截距的取值范圍或最值問題，若b為負(fù)數(shù)，
則求Z的最大值或最小值問題，則求的就是直線截距相反。
【例1】已知實數(shù)x,y滿足 
則2x+y的最小值
解法（截距法）
先畫出約束條件限定的可行域（如圖陰影部分所示）
設(shè)z=2x+y然后化為y=-2x+z的形式，將問題轉(zhuǎn)化為求平行于直線y=-2x的直線族在y軸上的截距z的取值范圍;由上圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點A(1,2)時，直線在y軸上的截距有最小值為4。
例1對于目標(biāo)函數(shù)z=2x+y 已知實數(shù)x,y滿足 條件求z的最小值。
解：作出可行域.設(shè)N(x,y)為可行域內(nèi)任意一點，與已知點M(2,1)則
，由數(shù)量積的幾何意義可知當(dāng)N(x,y)在點A(1,2)時，
【題型2】對于形如型目標(biāo)式。
在線性規(guī)劃中，對于形如可先設(shè)為的Z=的目標(biāo)函數(shù)，均可化為求可行內(nèi)的點（x,y)與點（A,B)間的距離的平方的最值問題，然后計算可以求解。
變式例2對于上面的例就有已知實數(shù)x, 滿足
則
的最小值及最大值
解，先畫出滿足不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分所示。 將目標(biāo)函數(shù)設(shè)z,轉(zhuǎn)化為
，問題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點（x,y)與原點O(0,0)的最小距離的平方的值。
顯然，原點到B點的距離最大，到C點的距離最小，由
解得B點（3，4）
可以
,
【題型3】
形如的目標(biāo)式，在線性規(guī)劃中，可先設(shè)
的目標(biāo)函數(shù)，可先變式為的形式，講問題轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點（x,y)與點
連線斜率的
倍的范圍或最值問題，問題從而得以解決，
變式例3 就上面的問題實數(shù)已知實數(shù)x, 滿足則
的最值，
解，先畫出滿足不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分，
設(shè)
即有
問題的轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點M（X,Y)與原點O(0,0)的連線斜率的最大值和最小值問題，（或由得
可以知道是過原點的直線，可求直線的最大最?。?nbsp; 所以
【題型4】 形如
型的目標(biāo)函數(shù)
在線性規(guī)劃中，形如Z=
型的目標(biāo)函數(shù)，可將其轉(zhuǎn)化為
的形式，將轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點（x,y）到直線
距離的
倍的最值。
變式例4，對于實數(shù)x,y滿足條件
則求
的最大值。
解，可畫出不等式組所表示的可行域。
將目標(biāo)函數(shù)可化為
問題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點（x,y）到直線
的距離的
倍最大值。觀察可知點B到直線的距離最大?！?
=12
