第二章 圓錐曲線與方程

§2.1  橢 圓

2.1.1 橢圓及其標準方程

 

課時目標 1.了解橢圓的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標準方程的推導(dǎo)與化簡過程.2.掌握橢圓的定義、標準方程及幾何圖形．

 

1．橢圓的概念：平面內(nèi)與兩個定點F₁，F₂的距離的和等于________(大于|F₁F₂|)的點的軌跡叫做________．這兩個定點叫做橢圓的________，兩焦點間的距離叫做橢圓的________．當|PF₁|＋|PF₂|＝|F₁F₂|時，軌跡是__________，當|PF₁|＋|PF₂|<|F₁F₂|時__________軌跡．

2．橢圓的方程：焦點在x軸上的橢圓的標準方程為________________，焦點坐標為________________，焦距為________；焦點在y軸上的橢圓的標準方程為________________．

 

一、選擇題

1．設(shè)F₁，F₂為定點，|F₁F₂|＝6，動點M滿足|MF₁|＋|MF₂|＝6，則動點M的軌跡是(  )

A．橢圓        B．直線        C．圓         D．線段

2．橢圓eq \f(x²,16)＋eq \f(y²,7)＝1的左右焦點為F₁，F₂，一直線過F₁交橢圓于A、B兩點，則△ABF₂的周長為(  )

A．32         B．16          C．8          D．4

3．橢圓2x²＋3y²＝1的焦點坐標是(  )

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(6),6)))               B．(0，±1)

C．(±1,0)                 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(6),6)，0))

4．方程eq \f(x²,|a|－1)＋eq \f(y²,a＋3)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是(  )

A．(－3，－1)             B．(－3，－2)

C．(1，＋∞)              D．(－3,1)

5．若橢圓的兩焦點為(－2,0)，(2,0)，且該橢圓過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，則該橢圓的方程是(  )

A.eq \f(y²,8)＋eq \f(x²,4)＝1                B.eq \f(y²,10)＋eq \f(x²,6)＝1

C.eq \f(y²,4)＋eq \f(x²,8)＝1                D.eq \f(y²,6)＋eq \f(x²,10)＝1

6．設(shè)F₁、F₂是橢圓eq \f(x²,16)＋eq \f(y²,12)＝1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且P到兩個焦點的距離之差為2，則△PF₁F₂是(  )

A．鈍角三角形             B．銳角三角形

C．斜三角形               D．直角三角形

 

二、填空題

7．橢圓eq \f(x²,9)＋eq \f(y²,2)＝1的焦點為F₁、F₂，點P在橢圓上．若|PF₁|＝4，則|PF₂|＝________，∠F₁PF₂的大小為________．

8．P是橢圓eq \f(x²,4)＋eq \f(y²,3)＝1上的點，F₁和F₂是該橢圓的焦點，則k＝|PF₁|·|PF₂|的最大值是______，最小值是______．

9．“神舟六號”載人航天飛船的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，設(shè)其近地點距地面n千米，遠地點距地面m千米，地球半徑為R，那么這個橢圓的焦距為________千米．

三、解答題

10．根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程．

(1)兩個焦點的坐標分別是(－4,0)，(4,0)，橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和等于10；

(2)兩個焦點的坐標分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))).

 

 

 

 

 

 

 

11．已知點A(0，eq \r(3))和圓O₁：x²＋(y＋eq \r(3))²＝16，點M在圓O₁上運動，點P在半徑O₁M上，且|PM|＝|PA|，求動點P的軌跡方程．

 

 

 

 

 

 

 

能力提升

12．若點O和點F分別為橢圓eq \f(x²,4)＋eq \f(y²,3)＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為(  )

A．2         B．3         C．6         D．8

 

 

13．如圖△ABC中底邊BC＝12，其它兩邊AB和AC上中線的和為30，求此三角形重心G的軌跡方程，并求頂點A的軌跡方程．

 

 

 

 

 

 

 

 

    1．橢圓的定義中只有當距離之和2a>|F₁F₂|時軌跡才是橢圓，如果2a＝|F₁F₂|，軌跡是

線段F₁F₂，如果2a<|F₁F₂|，則不存在軌跡．

2．橢圓的標準方程有兩種表達式，但總有a>b>0，因此判斷橢圓的焦點所在的坐標軸要看方程中的分母，焦點在分母大的對應(yīng)軸上．

3．求橢圓的標準方程常用待定系數(shù)法，一般是先判斷焦點所在的坐標軸進而設(shè)出相應(yīng)的標準方程，然后再計算；如果不能確定焦點的位置，有兩種方法求解，一是分類討論，二是設(shè)橢圓方程的一般形式，即mx²＋ny²＝1 (m，n為不相等的正數(shù))．

 

 

第二章 圓錐曲線與方程

§2.1 橢 圓

2．1.1 橢圓及其標準方程

答案

 

知識梳理

1．常數(shù) 橢圓 焦點 焦距 線段F₁F₂ 不存在

2.eq \f(x²,a²)＋eq \f(y²,b²)＝1 (a>b>0) F₁(－c，0)，F₂(c，0) 2c eq \f(y²,a²)＋eq \f(x²,b²)＝1  (a>b>0)

作業(yè)設(shè)計

1．D [∵|MF₁|＋|MF₂|＝6＝|F₁F₂|，

∴動點M的軌跡是線段．]

2．B [由橢圓方程知2a＝8，

由橢圓的定義知|AF₁|＋|AF₂|＝2a＝8，

|BF₁|＋|BF₂|＝2a＝8，所以△ABF₂的周長為16.]

3．D

4．B [|a|－1>a＋3>0.]

5．D [橢圓的焦點在x軸上，排除A、B，

又過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))驗證即可．]

6．D [由橢圓的定義，知|PF₁|＋|PF₂|＝2a＝8.

由題可得||PF₁|－|PF₂||＝2，

則|PF₁|＝5或3，|PF₂|＝3或5.

又|F₁F₂|＝2c＝4，∴△PF₁F₂為直角三角形．]

7．2 120°

解析 

∵|PF₁|＋|PF₂|＝2a＝6，

∴|PF₂|＝6－|PF₁|＝2.

在△F₁PF₂中，

cos∠F₁PF₂＝

eq \f(|PF₁|²＋|PF₂|²－|F₁F₂|²,2|PF₁|·|PF₂|)

＝eq \f(16＋4－28,2×4×2)＝－eq \f(1,2)，∴∠F₁PF₂＝120°.

8．4 3

解析 設(shè)|PF₁|＝x，則k＝x(2a－x)，

因a－c≤|PF₁|≤a＋c，即1≤x≤3.

∴k＝－x²＋2ax＝－x²＋4x＝－(x－2)²＋4，

∴k_max＝4，k_min＝3.

9．m－n

解析 設(shè)a，c分別是橢圓的長半軸長和半焦距，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋c＝m＋R,a－c＝n＋R))，則2c＝m－n.

10．解 (1)∵橢圓的焦點在x軸上，

∴設(shè)橢圓的標準方程為eq \f(x²,a²)＋eq \f(y²,b²)＝1 (a>b>0)．

∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.

∴b²＝a²－c²＝5²－4²＝9.

故所求橢圓的標準方程為eq \f(x²,25)＋eq \f(y²,9)＝1.

(2)∵橢圓的焦點在y軸上，

∴設(shè)橢圓的標準方程為eq \f(y²,a²)＋eq \f(x²,b²)＝1 (a>b>0)．

由橢圓的定義知，2a＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))²＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))²)＋

 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))²＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))²)＝eq \f(3\r(10),2)＋eq \f(\r(10),2)＝2eq \r(10)，

∴a＝eq \r(10).

又∵c＝2，∴b²＝a²－c²＝10－4＝6.

故所求橢圓的標準方程為eq \f(y²,10)＋eq \f(x²,6)＝1.

11．解 ∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO₁|＝4，

∴|PO₁|＋|PA|＝4，又∵|O₁A|＝2eq \r(3)<4，

∴點P的軌跡是以A、O₁為焦點的橢圓，

∴c＝eq \r(3)，a＝2，b＝1，

∴動點P的軌跡方程為x²＋eq \f(y²,4)＝1.

12．C [由橢圓方程得F(－1,0)，設(shè)P(x₀，y₀)，

則 ·＝(x₀，y₀)·(x₀＋1，y₀)＝xeq \o\al(²,₀)＋x₀＋yeq \o\al(²,₀).

∵P為橢圓上一點，∴ eq \f(x\o\al(²,₀),4)＋eq \f(y\o\al(²,₀),3)＝1.

∴ ·＝xeq \o\al(²,₀)＋x₀＋3(1－eq \f(x\o\al(²,₀),4))

＝eq \f(x\o\al(²,₀),4)＋x₀＋3＝eq \f(1,4)(x₀＋2)²＋2.

∵－2≤x₀≤2，

∴  ·的最大值在x₀＝2時取得，且最大值等于6.]

13．解 以BC邊所在直線為x軸，BC邊中點為原點，建立如圖所示坐標系，

則B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD為AB、AC邊上的中線，則|BD|＋|CE|＝30.

由重心性質(zhì)可知

|GB|＋|GC|

＝eq \f(2,3)(|BD|＋|CE|)＝20.

∵B、C是兩個定點，G點到B、C距離和等于定值20，且20>12，

∴G點的軌跡是橢圓，B、C是橢圓焦點．

∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，

b²＝a²－c²＝10²－6²＝64，

故G點的軌跡方程為eq \f(x²,100)＋eq \f(y²,64)＝1，

去掉(10,0)、(－10,0)兩點．

又設(shè)G(x′，y′)，A(x，y)，則有eq \f(x′²,100)＋eq \f(y′²,64)＝1.

由重心坐標公式知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x,3)，,y′＝\f(y,3).))

故A點軌跡方程為eq \f((\f(x,3))²,100)＋eq \f((\f(y,3))²,64)＝1.

即eq \f(x²,900)＋eq \f(y²,576)＝1，去掉(－30,0)、(30,0)兩點．