【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能以兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.
2.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,并能靈活運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換.
【要點梳理】
要點一:兩角和的余弦函數(shù)
要點二:兩角和與差的正弦函數(shù)
在公式中用代替,就得到:
要點詮釋:
(1)公式中的都是任意角;
(2)和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣,誘導(dǎo)公式是和差公式的特例.如
當(dāng)或中有一個角是的整數(shù)倍時,通常使用誘導(dǎo)公式較為方便;
(3)使用公式時,不僅要會正用,還要能夠逆用公式,如化簡時,不要將和展開,而應(yīng)采用整體思想,進(jìn)行如下變形:
要點三:兩角和與差的正切函數(shù)
利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角關(guān)系式推導(dǎo).
要點詮釋:
公式成立的條件是:
;
2.重視角的變換
三角變換是三角函數(shù)的靈魂與核心,在三角變換中,角的變換是最基本的變換,在歷年的高考試題中多次出現(xiàn),必須引起足夠的重視.常見的角的變換有:
;;等,常見的三角變換有:切化弦、等.
【合作探究】
探究一:兩角和與差的三角函數(shù)公式的正用
例1.已知,,,是第三象限角,求、、的值.
【思路點撥】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式確定、的值,然后利用兩角和與差的余弦、正弦公式求值.
【解析】 由,得
,
又由,為第三象限角得
,
∴.
= =
= =
【總結(jié)升華】已知,的某種三角函數(shù)值,求的正弦或余弦,先要根據(jù)平方關(guān)系求出、的另一種三角函數(shù)值.求解過程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函數(shù)值的符號,然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的余弦公式中,求出和角或差角的余弦.
【變式1】(1)求的值;
(2)已知求的值.
【思路點撥】(1)分析所給的兩個已知角和所求的角之間有關(guān)系.(2).
【解析】(1)
=
(2),
又
=
=
【總結(jié)升華】此類題目重在考察所給已知角與所求角之間的運(yùn)算關(guān)系,主要是指看兩角之間的和、差、倍的關(guān)系,如,
等,找到它們的關(guān)系可以簡化運(yùn)算,同時在求三角函數(shù)值時應(yīng)關(guān)注函數(shù)值的符號.
探究二:兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形應(yīng)用
例2.計算下列各式的值:
(1); (2);
(3).
【思路點撥】注意兩角和差公式的逆用和變形.
【解析】 (1)=
===.
(2).
(3)∵
∴tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1- tan17°tan28°
∴原式=1- tan17°tan28°+ tan17°tan28°=1
【總結(jié)升華】三角變換的一般規(guī)律:看角的關(guān)系、看函數(shù)名稱、看運(yùn)算結(jié)構(gòu).以上題目是給角求值問題,應(yīng)首先看角的關(guān)系:先從所給角的關(guān)系入手,觀察所給角的和、差、倍(下一節(jié)學(xué)習(xí))是否為特殊角,然后看包含的函數(shù)名稱,以及所給三角式的結(jié)構(gòu),結(jié)合三角公式,找到題目的突破口.公式的變形應(yīng)予以靈活運(yùn)用.
【課外作業(yè)】
1.的值等于( B )
A. B. C. D.
2. 已知則的值等于 ( B )
A. B. C. D.
3.tan 15°+tan 30°+tan 15°·tan 30°的值是( A )
A.1 B. C. D.
4.已知為銳角,且cos= cos = -, 則cos=_________.
【解析】∵ 為銳角,且,∴ .
又∵ 、 均為銳角,∴ 0< <π,且,
∴ .
則
5.求值:
【解析】原式==