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          2.3.1平面向量的基本定理
          瀏覽次數(shù):次      發(fā)布時(shí)間:2017-12-19       發(fā)布人:馬伏剛

          2.3.1平面向量的基本定理

          一、學(xué)習(xí)目標(biāo):

          1.理解平面向量基本定理.

          2.會(huì)用任意一組基底表示指定的向量.

          3.理解向量夾角的概念.

          二、課前導(dǎo)學(xué):

          ()基礎(chǔ)梳理:

          1.對(duì)于向量的數(shù)乘λa,其長(zhǎng)度和方向的規(guī)定:

          (1)|λa||λ||a|;

          (2)當(dāng)____時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向_____;當(dāng)λ0時(shí),λa0.

          λ>0;相反

           

           

           

           

           

           


          ()預(yù)習(xí):

          1.平面向量基本定理

          (1)定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)______向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2,使aλ1e1λ2e2.

          (2)我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組______

          答:不共線; 基底.

           

           

           

           


          3、在

          ABC

          中,向量

          AB

          BC

          、

          CA

          ,可形成

          多少組基底?

          1)非零向量;夾角.(2[0°,180°];180°;(390°。


           

           

           

           

           

           

           


          (三)自測(cè)

          1.設(shè)O?ABCD的對(duì)角線交點(diǎn),則下列向量組:;;;.其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是(  )

          A①②           B①③

          C①④                                  D③④

          解析:B.不共線,故可作為平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的一組基底;又,故不可以作為基底;不共線,故可以;共線,故不可以作為基底.

          2.

           

          如圖所示,已知ABCDEF是正六邊形,且Aa,Ab,則B等于(  )

          A.eq \f(1,2)(ab)               B.eq \f(1,2)(ba)     Caeq \f(1,2)b       D.eq \f(1,2)(ab)

          解析:D.連結(jié)AD(圖略),則AAAab,

          Beq \f(1,2)Aeq \f(1,2)(ab)

          3ADBE分別為ABC的邊BC、AC上的中線,且a,b,則等于(  )

          A.eq \f(4,3)aeq \f(2,3)b                    B.eq \f(2,3)aeq \f(4,3)b       C.eq \f(2,3)aeq \f(2,3)b     D.-eq \f(2,3)aeq \f(2,3)b

          解析:B.設(shè)ADBE交點(diǎn)為F,則eq \f(2,3)a,eq \f(2,3)b

          0,得eq \f(2,3)(ab),

          所以2 2()eq \f(2,3)aeq \f(4,3)b.

          4.平面上兩個(gè)不共線的非零向量ab,若|ab||ab|,則ab夾角為__________

          解析:a、b為鄰邊作平行四邊形,|ab|、|ab|表示平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)相等,故是矩形.

          答案:90°

          三、合作探究:

          探究一、用基底表示向量

          平面向量基本定理,其實(shí)質(zhì)在于:同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合.定理說(shuō)明了只要選定一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,那么這個(gè)平面內(nèi)的任何向量都可以用這兩個(gè)向量表示出來(lái),它體現(xiàn)了事物間的相互轉(zhuǎn)化,也為我們今后的解題提供了一種方法.

          1

           

          【思路分析】 基底已經(jīng)選定,所以要表示其他向量,只要利用向量的線性運(yùn)算,即可寫(xiě)出其線性表達(dá)式.

           


          本例中,如果把

          ?

          ABCD

          改為

          等腰梯形

          ABCD

          ,且

          DC

          1

          2

          AB

          ,用

          a

          、

          b

          如何表示

          MC

          MA

          、

          MB

           


           

           

           

           

           

           

           

           

           

           


          探究二、向量夾角的計(jì)算

          主要是結(jié)合圖形,指明向量夾角的位置,利用三角形求其角.

          2、若a0,且b0,且|a||b||ab|,求aab的夾角.

          【思路分析】 利用平行四邊形法則作出abab,作出其角度.

           

           

           

           

           

           

           


           

           

           

           

           

           


           

          小結(jié): 求向量夾角,必須使兩向量共起點(diǎn).否則通過(guò)平移后求其角.

           *探究三、平面向量基本定理的綜合應(yīng)用

          3、如圖,已知?ABCDMAB的中點(diǎn),NBD上,3BNBD.

          求證:M、NC三點(diǎn)共線.

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           


          方法技巧

          1.用基底表示平面向量,要充分利用向量加、減法的三角形法則或平行四邊形法則,同時(shí)結(jié)合實(shí)數(shù)與向量積的定義,解題時(shí)要注意解題途徑的優(yōu)化與組合.如例1

          2.應(yīng)用平面向量基本定理來(lái)證明平面幾何問(wèn)題的一般方法如下:一般先選取一組基底,再根據(jù)幾何圖形的特征應(yīng)用向量的有關(guān)知識(shí)解題.如例3

          失誤防范

          1.零向量不能作為基底,兩個(gè)非零向量共線時(shí)不能作為平面向量的一組基底.只有平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量才可作為基底.

          2.平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量可以作為基底,對(duì)于同一個(gè)向量,用不同基底表示時(shí),實(shí)數(shù)對(duì)并不一定相同.

          3.向量的夾角與多邊形內(nèi)角區(qū)分開(kāi).如例2

          四、課堂小結(jié)    

                           

          五、課外作業(yè)

          11.下面三種說(shuō)法中,正確的是(  )

          一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;

          一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;

          零向量不可作為基底中的向量.

          A①②                                  B②③

          C①③                                  D①②③

          解析:B.由于同一平面內(nèi)任意一對(duì)不共線的向量都可以作為該平面所有向量的基底,故錯(cuò)誤,而②③正確,故選B.

          2.如果e1、e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底,那么(  )

          A.若實(shí)數(shù)λ1、λ2使λ1e1λ2e20,則λ1λ20

          B.空間任一向量a可以表示為aλ1e1λ2e2,這里λ1、λ2是實(shí)數(shù)

          C.對(duì)實(shí)數(shù)λ1λ2,λ1e1λ2e2不一定在平面α內(nèi)

          D.對(duì)平面α中的任一向量aλ1e1λ2e2,實(shí)數(shù)λ1、λ2有無(wú)數(shù)對(duì)

          解析:A.平面α內(nèi)任一向量都可寫(xiě)成e1e2的線性組合形式,而不是空間內(nèi)任一向量,故B不正確;C中的向量λ1e1λ2e2一定在平面α內(nèi);對(duì)平面α中的任一向量a,實(shí)數(shù)λ1、λ2是唯一的.

          3.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的一組基底,則下列四組向量中,不能作為基底的為(  )

          Ae1e1e2                        Be12e2e22e1

          Ce12e24e22e1            De1e2e1e2

          解析:C.4e22e1=-2(e12e2),

          4e22e1e12e2是共線向量,e12e24e22e1不能作基底.

          4(2010年高考大綱全國(guó)卷)ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,CD平分ACB.ab,|a|1|b|2,則(  )

          A.eq \f(1,3)aeq \f(2,3)b         B.eq \f(2,3)aeq \f(1,3)b         C.eq \f(3,5)aeq \f(4,5)b         D.eq \f(4,5)aeq \f(3,5)b

          解析:B.

           

          如圖所示,12

          eq \f(|CB|,|CA|)eq \f(|BD|,|DA|)eq \f(1,2),eq \f(1,3)eq \f(1,3)()eq \f(1,3)(ba),

          aeq \f(1,3)(ba)eq \f(2,3)aeq \f(1,3)b.

          5.已知ABC中,DAB上一點(diǎn),若2,eq \f(1,3)λ,則λ__________.

          解析:,由于2, 所以eq \f(2,3)eq \f(2,3)()

          ACD中,  eq \f(2,3)()eq \f(1,3)eq \f(2,3)λeq \f(2,3).    答案:eq \f(2,3)

          6、已知如圖,在ABC中,DBC的中點(diǎn),E、FBC的三等分點(diǎn),若Aa,Ab,試分別用a,b表示AA,A.

          解:ba.

          AABAeq \f(1,2)Baeq \f(1,2)(ba)eq \f(1,2)aeq \f(1,2)b

          AABAeq \f(1,3)Baeq \f(1,3)(ba)eq \f(2,3)aeq \f(1,3)b;

          AABAeq \f(2,3)Baeq \f(2,3)(ba)eq \f(1,3)aeq \f(2,3)b.

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