靈活應(yīng)對(duì)線性規(guī)劃的問題
銀川外國語實(shí)驗(yàn)中學(xué) 于晶
【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃 構(gòu)造 目標(biāo)函數(shù)
【摘要】線性規(guī)劃是近幾年高中教材的新增內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)的必要環(huán)節(jié)，因?yàn)閼?yīng)用它可以更好的解決生活中的很多關(guān)于生產(chǎn)利潤最大以及材料最省等問題，也是高中數(shù)形結(jié)合思想方法的一個(gè)更好的體現(xiàn)，正因?yàn)槿绱?，所以線性規(guī)劃已作為數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)必考項(xiàng)目，通過一組數(shù)據(jù)可以很直觀看出它的的地位，僅僅統(tǒng)計(jì)07，08年兩年高考全國18個(gè)省市36份試卷，“線性規(guī)劃”就考查了24次，其中大部分作為填空題出現(xiàn)。
鑒于此，我們很有必要讓學(xué)生深刻理解掌握線性規(guī)劃的內(nèi)容，應(yīng)用與實(shí)際生活中，作為高考應(yīng)試，也很有必要讓學(xué)生把此內(nèi)容系統(tǒng)掌握，因而，筆者聯(lián)系自己的教學(xué)實(shí)踐，并從精選一些有代表性的試題，多角度分析說明。具體有以下兩個(gè)方面。
一、利用線性規(guī)劃解決實(shí)際應(yīng)用問題
問題：本公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別分500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的廣告每分鐘能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元，問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元。
[分析】應(yīng)用線性規(guī)劃求解實(shí)際問題的步驟；
從已知條件中建立數(shù)學(xué)模型; 1、設(shè)出所求的未知量；2、列出約束條件，（即不等式）3、建立目標(biāo)函數(shù)；4、做出可行域，運(yùn)用圖解法求最優(yōu)解，
解，設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告時(shí)間分別為x分鐘,y分鐘，總收益為z,由題意可得
目標(biāo)函數(shù)為 z=3000x+2000y,二元一次不等式組等價(jià)于
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如果作直線L;3000x+2000y=0,即
3x+2y=0,從圖可知當(dāng)直線L;過M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值，聯(lián)立
解得 X=100,Y=200的點(diǎn)M坐標(biāo)為（100，200）
∴
=3000×100+2000×200=700000
答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200時(shí)，該公司收益最大，且最大為70萬元。
二、線性規(guī)劃中幾種目標(biāo)函數(shù)及解法
這類問題一般典型題法就是： 一個(gè)目標(biāo)，一組條件，典型解法是幾何代數(shù)并用，即根據(jù)條件畫出區(qū)域，應(yīng)用圖解法來解決問題，因目標(biāo)函數(shù)不同所以解決的思路在具體問題中就有各自的差異，下面筆者就結(jié)合具體題型來作以強(qiáng)化說明，
【題型1】：對(duì)于目標(biāo)函數(shù)是z=ax+by或者直接給出ax+by這樣類型的問題說求它的最大值或最小值問題，如是ax+by的形式，則先設(shè)Z=ax+by
解法一（截距法）
將Z=ax+by變形為
將
看作是直線在y軸上的截距，問題就轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)截距的取值范圍或最值問題，若b為負(fù)數(shù)，
則求Z的最大值或最小值問題，則求的就是直線截距相反。
【例1】已知實(shí)數(shù)x,y滿足 
則2x+y的最小值
解法（截距法）
先畫出約束條件限定的可行域（如圖陰影部分所示）
設(shè)z=2x+y然后化為y=-2x+z的形式，將問題轉(zhuǎn)化為求平行于直線y=-2x的直線族在y軸上的截距z的取值范圍;由上圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)時(shí)，直線在y軸上的截距有最小值為4。
例1對(duì)于目標(biāo)函數(shù)z=2x+y 已知實(shí)數(shù)x,y滿足 條件求z的最小值。
解：作出可行域.設(shè)N(x,y)為可行域內(nèi)任意一點(diǎn)，與已知點(diǎn)M(2,1)則
，由數(shù)量積的幾何意義可知當(dāng)N(x,y)在點(diǎn)A(1,2)時(shí)，
【題型2】對(duì)于形如型目標(biāo)式。
在線性規(guī)劃中，對(duì)于形如可先設(shè)為的Z=的目標(biāo)函數(shù)，均可化為求可行內(nèi)的點(diǎn)（x,y)與點(diǎn)（A,B)間的距離的平方的最值問題，然后計(jì)算可以求解。
變式例2對(duì)于上面的例就有已知實(shí)數(shù)x, 滿足
則
的最小值及最大值
解，先畫出滿足不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分所示。 將目標(biāo)函數(shù)設(shè)z,轉(zhuǎn)化為
，問題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y)與原點(diǎn)O(0,0)的最小距離的平方的值。
顯然，原點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最大，到C點(diǎn)的距離最小，由
解得B點(diǎn)（3，4）
可以
,
【題型3】
形如的目標(biāo)式，在線性規(guī)劃中，可先設(shè)
的目標(biāo)函數(shù)，可先變式為的形式，講問題轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y)與點(diǎn)
連線斜率的
倍的范圍或最值問題，問題從而得以解決，
變式例3 就上面的問題實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù)x, 滿足則
的最值，
解，先畫出滿足不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分，
設(shè)
即有
問題的轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)M（X,Y)與原點(diǎn)O(0,0)的連線斜率的最大值和最小值問題，（或由得
可以知道是過原點(diǎn)的直線，可求直線的最大最小） 所以
【題型4】 形如
型的目標(biāo)函數(shù)
在線性規(guī)劃中，形如Z=
型的目標(biāo)函數(shù)，可將其轉(zhuǎn)化為
的形式，將轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）到直線
距離的
倍的最值。
變式例4，對(duì)于實(shí)數(shù)x,y滿足條件
則求
的最大值。
解，可畫出不等式組所表示的可行域。
將目標(biāo)函數(shù)可化為
問題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）到直線
的距離的
倍最大值。觀察可知點(diǎn)B到直線的距離最大?！?
=12
