1、蝴蝶效應(yīng) 氣象學(xué)家lorenz提出一篇論文,名叫「一只蝴蝶拍一下翅膀會不會在taxas州引起龍卷風(fēng)?」論述某系統(tǒng)如果初期條件差一點點,結(jié)果會很不穩(wěn)定,他把這種現(xiàn)象戲稱做「蝴蝶效應(yīng)」。就像我們投擲骰子兩次,無論我們?nèi)绾慰桃馊ネ稊S,兩次的物理現(xiàn)象和投出的點數(shù)也不一定是相同的。lorenz為何要寫這篇論文呢? 這故事發(fā)生在1961年的某個冬天,他如往常一般在辦公室操作氣象電腦。平時,他只需要將溫度、濕度、壓力等氣象數(shù)據(jù)輸入,電腦就會依據(jù)三個內(nèi)建的微分方程式,計算出下一刻可能的氣象數(shù)據(jù),因此模擬出氣象變化圖。 這一天,lorenz想更進(jìn)一步了解某段紀(jì)錄的後續(xù)變化,他把某時刻的氣象數(shù)據(jù)重新輸入電腦,讓電腦計算出更多的後續(xù)結(jié)果。當(dāng)時,電腦處理數(shù)據(jù)資料的數(shù)度不快,在結(jié)果出來之前,足夠他喝杯咖啡并和友人閑聊一陣。在一小時後,結(jié)果出來了,不過令他目瞪口呆。結(jié)果和原資訊兩相比較,初期數(shù)據(jù)還差不多,越到後期,數(shù)據(jù)差異就越大了,就像是不同的兩筆資訊。而問題并不出在電腦,問題是他輸入的數(shù)據(jù)差了0.000127,而這些微的差異卻造成天壤之別。所以長期的準(zhǔn)確預(yù)測天氣是不可能的。
2、動物中的數(shù)學(xué)“天才” 蜜蜂蜂房是嚴(yán)格的六角柱狀體,它的一端是平整的六角形開口,另一端是封閉的六角菱錐形的底,由三個相同的菱形組成。組成底盤的菱形的鈍角為109度28分,所有的銳角為70度32分,這樣既堅固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米,誤差極小。 丹頂鶴總是成群結(jié)隊遷飛,而且排成“人”字形?!叭恕弊中蔚慕嵌仁?10度。更精確地計算還表明“人”字形夾角的一半——即每邊與鶴群前進(jìn)方向的夾角為54度44分8秒!而金剛石結(jié)晶體的角度正好也是54度44分8秒!是巧合還是某種大自然的“默契”? 蜘蛛結(jié)的“八卦”形網(wǎng),是既復(fù)雜又美麗的八角形幾何圖案,人們即使用直尺的圓規(guī)也很難畫出像蜘蛛網(wǎng)那樣勻稱的圖案。 冬天,貓睡覺時總是把身體抱成一個球形,這其間也有數(shù)學(xué),因為球形使身體的表面積最小,從而散發(fā)的熱量也最少。 真正的數(shù)學(xué)“天才”是珊瑚蟲。珊瑚蟲在自己的身上記下“日歷”,它們每年在自己的體壁上“刻畫”出365條斑紋,顯然是一天“畫”一條。奇怪的是,古生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)3億5千萬年前的珊瑚蟲每年“畫”出400幅“水彩畫”。天文學(xué)家告訴我們,當(dāng)時地球一天僅21.9小時,一年不是365天,而是400天。
3、麥比烏斯帶 每一張紙均有兩個面和封閉曲線狀的棱(edge),如果有一張紙它有一條棱而且只有一個面,使得一只螞蟻能夠不越過棱就可從紙上的任何一點到達(dá)其他任何一點,這有可能嗎?事實上是可能的只要把一條紙帶半扭轉(zhuǎn),再把兩頭貼上就行了。這是德國數(shù)學(xué)家麥比烏斯(m?bius.a.f 1790-1868)在1858年發(fā)現(xiàn)的,自此以後那種帶就以他的名字命名,稱為麥比烏斯帶。有了這種玩具使得一支數(shù)學(xué)的分支拓樸學(xué)得以蓬勃發(fā)展。
4、數(shù)學(xué)家的遺囑 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密的遺囑,當(dāng)時他的妻子正懷著他們的第一胎小孩。“如果我親愛的妻子幫我生個兒子,我的兒子將繼承三分之二的遺產(chǎn),我的妻子將得三分之一;如果是生女的,我的妻子將繼承三分之二 的遺產(chǎn),我的女兒將得三分之一?!?。 而不幸的是,在孩子出生前,這位數(shù)學(xué)家就去世了。之后,發(fā)生的事更困擾大家,他的妻子幫他生了一對龍鳳胎,而問題就發(fā)生在他的遺囑內(nèi)容。 如何遵照數(shù)學(xué)家的遺囑,將遺產(chǎn)分給他的妻子、兒子、女兒呢?
5、火柴游戲 一個最普通的火柴游戲就是兩人一起玩,先置若干支火柴於桌上,兩人輪流取,每次所取的數(shù)目可先作一些限制,規(guī)定取走最後一根火柴者獲勝。 規(guī)則一:若限制每次所取的火柴數(shù)目最少一根,最多三根,則如何玩才可致勝? 例如:桌面上有n=15根火柴,甲﹑乙兩人輪流取,甲先取,則甲應(yīng)如何取才能致勝? 為了要取得最後一根,甲必須最後留下零根火柴給乙,故在最後一步之前的輪取中,甲不能留下1根或2根或3根,否則乙就可以全部取走而獲勝。如果留下4根,則乙不能全取,則不管乙取幾根(1或2或3),甲必能取得所有剩下的火柴而贏了游戲。同理,若桌上留有8根火柴讓乙去取,則無論乙如何取,甲都可使這一次輪取後留下4根火柴,最後也一定是甲獲勝。由上之分析可知,甲只要使得桌面上的火柴數(shù)為4﹑8﹑12﹑16...等讓乙去取,則甲必穩(wěn)操勝券。因此若原先桌面上的火柴數(shù)為15,則甲應(yīng)取3根。(∵15-3=12)若原先桌面上的火柴數(shù)為18呢?則甲應(yīng)先取2根(∵18-2=16)。 規(guī)則二:限制每次所取的火柴數(shù)目為1至4根,則又如何致勝? 原則:若甲先取,則甲每次取時,須留5的倍數(shù)的火柴給乙去取。 通則:有n支火柴,每次可取1至k支,則甲每次取後所留的火柴數(shù)目必須為k+1之倍數(shù)。 規(guī)則三:限制每次所取的火柴數(shù)目不是連續(xù)的數(shù),而是一些不連續(xù)的數(shù),如1﹑3﹑7,則又該如何玩法? 分析:1﹑3﹑7均為奇數(shù),由於目標(biāo)為0,而0為偶數(shù),所以先取者甲,須使桌上的火柴數(shù)為偶數(shù),因為乙在偶數(shù)的火柴數(shù)中,不可能再取去1﹑3﹑7根火柴後獲得0,但假使如此也不能保證甲必贏,因為甲對於火柴數(shù)的奇或偶,也是無法依照己意來控制的。因為〔偶-奇=奇,奇-奇=偶〕,所以每次取後,桌上的火柴數(shù)奇偶相反。若開始時是奇數(shù),如17,甲先取,則不論甲取多少(1或3或7),剩下的便是偶數(shù),乙隨後又把偶數(shù)變成奇數(shù),甲又把奇數(shù)回覆到偶數(shù),最後甲是注定為贏家;反之,若開始時為偶數(shù),則甲注定會輸。 通則:開局是奇數(shù),先取者必勝;反之,若開局為偶數(shù),則先取者會輸。 規(guī)則四:限制每次所取的火柴數(shù)是1或4(一個奇數(shù),一個偶數(shù))。 分析:如前規(guī)則二,若甲先取,則甲每次取時留5的倍數(shù)的火柴給乙去取,則甲必勝。此外,若甲留給乙取的火柴數(shù)為5之倍數(shù)加2時,甲也可贏得游戲,因為玩的時候可以控制每輪所取的火柴數(shù)為5(若乙取1,甲則取4;若乙取4,則甲取1),最後剩下2根,那時乙只能取1,甲便可取得最後一根而獲勝。 通則:若甲先取,則甲每次取時所留火柴數(shù)為5之倍數(shù)或5的倍數(shù)加2。
6、韓信點兵 韓信點兵又稱為中國剩余定理,相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少,韓信答說,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。 我們先考慮下列的問題:假設(shè)兵不滿一萬,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,則兵有多少? 首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945(注:因為5、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù),故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積),然後再加3,得9948(人)。 中國有一本數(shù)學(xué)古書「孫子算經(jīng)」也有類似的問題:「今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之,剩二,五五數(shù)之,剩三,七七數(shù)之,剩二,問物幾何?」 答曰:「二十三」 術(shù)曰:「三三數(shù)之剩二,置一百四十,五五數(shù)之剩三,置六十三,七七數(shù)之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十減之,即得。凡三三數(shù)之剩一,則置七十,五五數(shù)之剩一,則置二十一,七七數(shù)之剩一,則置十五,即得?!? 孫子算經(jīng)的作者及確實著作年代均不可考,不過根據(jù)考證,著作年代不會在晉朝之後,以這個考證來說上面這種問題的解法,中國人發(fā)現(xiàn)得比西方早,所以這個問題的推廣及其解法,被稱為中國剩余定理。中國剩余定理(chinese remainder theorem)在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。