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          從“一道怪題”談“無(wú)關(guān)”型問(wèn)題
          瀏覽次數(shù):次      發(fā)布時(shí)間:2018-12-04       發(fā)布人:馬小龍

          在美國(guó)有一道叫做“國(guó)王是個(gè)小氣鬼”的怪題:蓬蓬國(guó)王為了獲得貧窮老百姓的支持,圖一個(gè)“樂(lè)善好施”的好名聲,決定施舍每個(gè)男人1美元,每個(gè)女人40美分(1美元等于100美分),但他又不想太破費(fèi).于是,這位陛下盤(pán)算來(lái)盤(pán)算去,最后想出了一個(gè)妙法,決定將他的直升飛機(jī)在正午12時(shí)在一個(gè)貧困的山村著陸.因?yàn)樗智宄?,在那個(gè)時(shí)候,村莊里有60%的男人都外出打獵去了.該村莊共有成年人口3085人,兒童忽略不計(jì),女性比男性多.請(qǐng)問(wèn),這位“精打細(xì)算”的國(guó)王要施舍掉多少錢(qián)?

           

          山村里究竟有多少男人,多少女人,題目沒(méi)有說(shuō)明,條件殘缺不全,這道題能做嗎?

           

          假定村莊里有1000個(gè)男人,因?yàn)?/span>60%的人都打獵去了,所以國(guó)王只能碰到400個(gè)男人,再加上料理家務(wù)的2085個(gè)女人,所以國(guó)王要施舍的錢(qián),應(yīng)當(dāng)是1×400+0.4×2085=400+834=1234(美元).如果村莊里只有500個(gè)男人,那么國(guó)王能碰到的男人只有500×(1-0.6)=200(),他的開(kāi)銷應(yīng)是1×200+0.4×2585=1234(美元).假設(shè)這個(gè)村莊里一個(gè)男人也沒(méi)有,國(guó)王碰到的全是女人,他的施舍支出竟然還是1234美元!三種情況下所得答數(shù)竟然完全一樣!

           

          這真是一道怪題!試試看用所學(xué)的整式知識(shí)能不能揭穿這道題的怪異之處.設(shè)村莊里有男人x人,那么女人有(3085-x)人,國(guó)王施舍的錢(qián)數(shù)為:(1-0.6)x+0.4(3085-x)=0.4x+1234-0.4x=1234(美元).原來(lái)國(guó)王施舍的錢(qián)數(shù)與村莊里的男人數(shù)無(wú)關(guān)!

           

          上面的怪題實(shí)際是一道“無(wú)關(guān)”型問(wèn)題.所謂“無(wú)關(guān)”型問(wèn)題,就是某一整式的值與其所含字母或部分字母無(wú)關(guān)的問(wèn)題,處理這類“無(wú)關(guān)”型的問(wèn)題時(shí),只要能靈活運(yùn)用整式加減的運(yùn)算法則,就能使問(wèn)題正確獲解.下面舉例說(shuō)明:

           

          一、求值型

           

          1  已知:A=2x2+3xy-2x-1B=-x2+xy-1,且3A+6B的值與x無(wú)關(guān),求y的值.

           

          解:因?yàn)?/span>3A+6B=3(2x2+3xy-2x-1)+6(-x2+xy-1)=15xy-6x-9=(15y-6)x-9

           

          3A+6B的值與x無(wú)關(guān),所以15y-6=0,即y=0.4

           

          說(shuō)明:如果已知式子與某個(gè)字母的取值無(wú)關(guān),那么這個(gè)字母的系數(shù)為0,從而列出方程求解.

           

          二、說(shuō)理型

           

          2  有這樣一道數(shù)學(xué)題目當(dāng)a=2b=-2時(shí),求多項(xiàng)式3a3b3-a2b+b-(4a3b3-a2b-b2)+(a3b3+a2b)-2b2+3的值,甲同學(xué)做題時(shí)把a=2抄錯(cuò)成a=-2,乙同學(xué)沒(méi)抄錯(cuò)題,但他們得出的結(jié)果恰好一樣,請(qǐng)問(wèn)這是怎么回事兒?

           

          解:因?yàn)?/span>3a3b3-a2b+b-(4a3b3-a2b-b2)+(a3b3+a2b)-2b2+3

           

          =3a3b3-a2b+b-4a3b3+a2b+b2+a3b3+a2b-2b2+3=-b2+b+3,

           

          可見(jiàn)含字母a的項(xiàng)都已消去,即這個(gè)多項(xiàng)式的值與a的取值無(wú)關(guān)

           

          所以甲同學(xué)做題時(shí)把a=2抄錯(cuò)成a=-2,不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果.

           

          事實(shí)上,無(wú)論甲同學(xué)把a錯(cuò)抄成什么數(shù),都不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果.

           

          說(shuō)明:這種抄錯(cuò)數(shù)字又使結(jié)果正確的問(wèn)題,通常情況下都說(shuō)明原式的化簡(jiǎn)結(jié)果與這個(gè)字母的取值無(wú)關(guān),或與抄錯(cuò)的數(shù)字符號(hào)無(wú)關(guān)(例設(shè)原式的化簡(jiǎn)結(jié)果是一個(gè)僅含有a2的式子)等等.

           

          三、應(yīng)用型

           

          3  “藍(lán)星電腦”店有A電腦和B電腦共120臺(tái),A電腦每臺(tái)4000元,B電腦每臺(tái)2520元.我市東坡中學(xué)購(gòu)買(mǎi)了全部B電腦和部分A電腦.經(jīng)過(guò)核算后發(fā)現(xiàn)應(yīng)付款的總數(shù)與A電腦的數(shù)目無(wú)關(guān).則購(gòu)買(mǎi)部分A電腦數(shù)是A電腦總數(shù)的百分之幾?各買(mǎi)了多少臺(tái)?

           

          解:“藍(lán)星電腦”店有A電腦x臺(tái),則有B電腦(120-x)臺(tái),東坡中學(xué)購(gòu)買(mǎi)了A電腦的a%,則應(yīng)付總款為:4000··x+2520(120-x)

           

          化簡(jiǎn),得302400+(40a-2520)x

           

          ∵總付款與x無(wú)關(guān),即x的系數(shù)應(yīng)為0,

           

          所以40a-2520=0,解得a=63,即東坡中學(xué)購(gòu)買(mǎi)了A電腦總數(shù)的63%

           

          因?yàn)?/span>63% x為整數(shù)且0x120,所以x=10063%x=63%×100=63

           

          120-x=120-100=20

           

          所以東坡中學(xué)購(gòu)買(mǎi)了A電腦的63%,A電腦共有100臺(tái)買(mǎi)了63臺(tái),B電腦買(mǎi)了20臺(tái).

           

          說(shuō)明:本題是一道“總值”與“某個(gè)量”無(wú)關(guān)的問(wèn)題,與“某量”無(wú)關(guān),設(shè)“某量”為,合并同類項(xiàng)以后這個(gè)字母x的系數(shù)必為0

           

          練習(xí):1.如果關(guān)于字母x的二次多項(xiàng)式-3x2+mx+nx2-x+3的值與x的取值無(wú)關(guān),則m=___,n=___

           

          2.在解題目“當(dāng)x=0.28,y=36時(shí),求6(x2-xy+2y2)-3(2x2-2xy-1)-12y2+2008的值”時(shí),聰聰認(rèn)為x,y只要任取一對(duì)值,原式都有相同的結(jié)果.你認(rèn)為他說(shuō)的有道理嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

           

          3為了鼓勵(lì)在“我為玉樹(shù)獻(xiàn)愛(ài)心”的演講比賽中獲獎(jiǎng)的同學(xué),學(xué)校購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種鋼筆共35支,其中甲種鋼筆每支24元,乙種鋼筆每支10.20元,為了獎(jiǎng)勵(lì)各類競(jìng)賽的獲勝者,把全部乙種鋼筆和若干支甲種鋼筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給學(xué)生,若發(fā)給學(xué)生獎(jiǎng)品的錢(qián)數(shù)與學(xué)校購(gòu)買(mǎi)的甲種鋼筆總數(shù)目無(wú)關(guān),那么甲、乙兩種鋼筆各買(mǎi)了多少支?實(shí)發(fā)了多少支?

           

          答案:

           

          1m=1n=3

           

          2聰聰?shù)恼f(shuō)法有道理.原式的化簡(jiǎn)結(jié)果為2010,與x,y的取值無(wú)關(guān),因此x,y只要任取一對(duì)值,原式的結(jié)果都相同.

           

          3.甲種鋼筆買(mǎi)了20支,實(shí)發(fā)了17支,乙種鋼筆買(mǎi)了15支,實(shí)發(fā)了15支.

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