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          直線與平面垂直的判定
          瀏覽次數(shù):次      發(fā)布時間:2018-12-06       發(fā)布人:董文杰
          第一課時  直線與平面垂直的判定

          (一)教學目標
          1.知識與技能
          (1)使學生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理;
          (2)使學生掌握直線和平面所成的角求法;
          (3)培養(yǎng)學生的幾何直觀能力,使他們在直觀感知,操作確認的基礎(chǔ)上學會歸納、概括結(jié)論.
          2.過程與方法
          (1)通過教學活動,使學生了解,感受直線和平面垂直的定義的形成過程;
          (2)探究判定直線與平面垂直的方法.
          3.情態(tài)、態(tài)度與價值觀
          培養(yǎng)學生學會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知.
          (二)教學重點、難點
          重點:(1)直線與平面垂直的定義和判定定理;
               (2)直線和平面所成的角.
          難點:直線與平面垂直判定定理的探究.
          教學過程 教學內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖
          新課導入 問題:直線和平面平行的判定方法有幾種? 師投影問題,學生回答.
          生:可用定義可判斷,也可依判定定理判斷. 復習鞏固
          探索新知 一、直線和平面垂直的定義、畫法
          如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們說直線l與平面互相垂直,記作l⊥.直線l叫做平面的垂線,平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時,它們惟一的公共點P叫做垂足.
          畫直線與平面垂直時,通常把直線畫成與表不平面的平行四邊形的一邊垂直,如圖. 
          師:日常生活中我們對直線與平面垂直有很多感性認識,如旗桿與地面,橋柱與水面等,你能舉出更多的例子來嗎?
          師:在陽光下觀察,直立于地面的旗桿及它在地面的影子,它們的位置關(guān)系如何?
          生:旗桿與地面內(nèi)任意一條經(jīng)B的直線垂直.
          師:那么旗桿所在直線與平面內(nèi)不經(jīng)過B點的直線位置關(guān)系如何,依據(jù)是什么?(圖)
          生:垂直,依據(jù)是異面直線垂直的定義.
          師:你能嘗試給線面垂直下定義嗎?
          ……
          師:能否將任意直線改為無數(shù)條直線?學生找一反例說明. 培養(yǎng)學生的幾何直觀能力使他們在直觀感知,操作確認的基礎(chǔ)上學會歸納概括結(jié)論.
          探索新知 二、直線和平面垂直的判定
          1.試驗 如圖,過△ABC的頂點A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸).
          (1)折痕AD與桌面垂直嗎?
          (2)如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直?
          2.直線與平面垂直的判定定理:
          一條直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.
          思考:能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為一條直線或兩條平行直線? 師:下面請同學們準備一塊三角形的小紙片,我們一起來做一個實驗,(投影問題).
          學生動手實驗,然后回答問題.
          生:當且僅當折痕AD是BC邊上的高時,AD所在直線與桌面所在平面垂直.
          師:此時AD垂直上的一條直線還是兩條直線?
          生:AD垂直于桌面兩條直線,而且這兩條直線相交.
          師:怎么證明?
          生:折痕AD⊥BC,翻折之后垂直關(guān)系不變,即AD⊥CD,AD⊥BD
          ……
          師:直線和平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想. 培養(yǎng)學生的幾何直觀能力使他們在直觀感知,操作確認的基礎(chǔ)上學會歸納概括結(jié)論.
          典例剖析 例1 如圖,已知a∥b,a⊥,求證:b⊥.
          證明:在平面內(nèi)作兩條相交直線m、n.
          因為直線a⊥,根據(jù)直線與平面垂直的定義知
          a⊥m,a⊥n.
          又因為b∥a,
          所以b⊥m,b⊥n.
          又因為,m、n是兩條相交直線,
          b⊥. 師:要證b⊥,需證b與內(nèi)任意一條直線的垂直,又a∥b,問題轉(zhuǎn)化為a與面內(nèi)任意直線m垂直,這個結(jié)論顯然成立.
          學生依圖及分析寫出證明過程.
          ……
          師:此結(jié)論可以直接利用,判定直線和平面垂直. 鞏固所知識培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化化歸能力、書寫表達能力.
          探索新知 二、直線和平面所成的角
          如圖,一條直線PA和一個平面相交,但不與這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線,斜線的平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.
          一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0°的角. 教師借助多媒體直接講授,注意直線和平面所成的角是分三種情況定義的. 借助多媒體講授,提高上課效率.
          典例剖析 例2 如圖,在正方體ABCD – A1B1C1D1中,求A1B和平面A1B1CD所成的角.
          分析:找出直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影,就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
          解:連結(jié)BC1交B1C于點O,連結(jié)A1O.
          設(shè)正方體的棱長為a,因為A1B1⊥B1C1, A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1.
          所以A1B1⊥BC1.
          又因為BC1⊥B1C,所以B1C⊥平面A1B1CD.
          所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影,∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.
          在Rt△A1BO中,
          ,,
          所以,
          ∠BA1O = 30°
              因此,直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°. 師:此題A1是斜足,要求直線A1B與平面A1B1CD所成的角,關(guān)鍵在于過B點作出(找到,面A1B1CD的垂線,作出(找到)了面A1B1CD的垂線,直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影就知道了,怎樣過B作平面A1B1CD的垂線呢?
          生:連結(jié)BC1即可.
          師:能證明嗎?
          學生分析,教師板書,共同完成求解過程. 點拔關(guān)鍵點,突破難點,示范書寫及解題步驟.
          隨堂練習 1.如圖,在三棱錐V–ABC中,VA = VC,AB = BC,求證:VB⊥AC.

          2.過△ABC所在平面外一點P,作PO⊥,垂足為O,連接PA ,PB,PC.
          (1)若PA= PB = PC,∠C =90°,則點O是AB邊的    心.
          (2)若PA = PB =PC,則點O是△ABC的     心.
          (3)若P A⊥PB,PB⊥PC,PB⊥P A,則點O是△ABC的   .  心.
          3.兩條直線和一個平面所成的角相等,這兩條直線一定平行嗎?
          4.如圖,直四棱柱A′B′C′D′  – ABCD(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)中,底面四邊形ABCD滿足什么條件時,A′C⊥B′D′?
          學生獨立完成
          答案:
          1.略
          2.(1)AB邊的中點;(2)點O是△ABC的外心;(3)點O是△ABC的垂心.
          3.不一定平行.
          4.AC⊥BD. 鞏固所學知識
          歸納總結(jié) 1.直線和平面垂直的定義判定
          2.直線和平面所成的角定義與解答步驟、完善.
          3.線線垂直線面垂直 學生歸納總結(jié)教師補充 鞏固學習成果,使學生逐步養(yǎng)成愛總結(jié),會總結(jié)的習慣和能力.
          課后作業(yè) 2.7 第一課時 習案 學生獨立完成 強化知識
          提升能力
          備選例題
          例1  如圖,在空間四邊形ABCD中,AB = AD,CB = CD,M為BD中點,作AO⊥MC,交MC于O.求證:AO⊥平面BCD.
          【解析】連結(jié)AM
          ∵AB = AD,CB = CD,M為BD中點.
          ∴BD⊥AM,BD⊥CM.
          又AM∩CM = M,∴BD⊥平面ACM.
          ∵AO   平面ACM,∴BD⊥AO.
          又MC⊥AO,BD∩MC = M,∴AO⊥平面貌BCD.
          【評析】本題為了證明AO⊥平面BCD,先證明了平面BCD內(nèi)的直線垂直于AO所在的平面.這一方法具有典型性,即為了證明線與面的垂直,需要轉(zhuǎn)化為線與線的垂直;為了解決線與線的垂直,又需轉(zhuǎn)化為另一個線與面的垂直,再化為新的線線垂直.這樣互相轉(zhuǎn)化,螺旋式往復,最終使問題得到解決.
          例2  已知棱長為1的正方體ABCD – A1B1C1D1中,E是A1B1的中點,求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值.
          【解析】取CD的中點F,連接EF交平面ABC1D1于O,連AO.
          由已知正方體,易知EO⊥ABC1D1,所以∠EAO為所求.
          在Rt △EOA中,
           ,
          ,
          sin∠EAO = .
          所以直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為.
          【評析】求直線和平面所成角的步驟:
          (1)作——作出斜線和平面所成的角;
          (2)證——證明所作或找到的角就是所求的角;
          (3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角形)
          (4)答.
          常用鏈接:

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