直線與平面垂直的判定
瀏覽次數(shù)：次 發(fā)布時(shí)間：2018-12-06 發(fā)布人：董文杰
第一課時(shí) 直線與平面垂直的判定
（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）使學(xué)生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；
（2）使學(xué)生掌握直線和平面所成的角求法；
（3）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們?cè)谥庇^感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納、概括結(jié)論.
2．過(guò)程與方法
（1）通過(guò)教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過(guò)程；
（2）探究判定直線與平面垂直的方法.
3．情態(tài)、態(tài)度與價(jià)值觀
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從“感性認(rèn)識(shí)”到“理性認(rèn)識(shí)”過(guò)程中獲取新知.
（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：（1）直線與平面垂直的定義和判定定理；
（2）直線和平面所成的角.
難點(diǎn)：直線與平面垂直判定定理的探究.
教學(xué)過(guò)程 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
新課導(dǎo)入 問(wèn)題：直線和平面平行的判定方法有幾種？ 師投影問(wèn)題，學(xué)生回答.
生：可用定義可判斷，也可依判定定理判斷. 復(fù)習(xí)鞏固
探索新知 一、直線和平面垂直的定義、畫(huà)法
如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說(shuō)直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們惟一的公共點(diǎn)P叫做垂足.
畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表不平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖.
師：日常生活中我們對(duì)直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識(shí)，如旗桿與地面，橋柱與水面等，你能舉出更多的例子來(lái)嗎？
師：在陽(yáng)光下觀察，直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關(guān)系如何？
生：旗桿與地面內(nèi)任意一條經(jīng)B的直線垂直.
師：那么旗桿所在直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線位置關(guān)系如何，依據(jù)是什么？（圖）
生：垂直，依據(jù)是異面直線垂直的定義.
師：你能?chē)L試給線面垂直下定義嗎？
……
師：能否將任意直線改為無(wú)數(shù)條直線？學(xué)生找一反例說(shuō)明. 培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們?cè)谥庇^感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納概括結(jié)論.
探索新知 二、直線和平面垂直的判定
1．試驗(yàn) 如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.
（1）折痕AD與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？
2．直線與平面垂直的判定定理：
一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.
思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為一條直線或兩條平行直線？ 師：下面請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的小紙片，我們一起來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，（投影問(wèn)題）.
學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，然后回答問(wèn)題.
生：當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，AD所在直線與桌面所在平面垂直.
師：此時(shí)AD垂直上的一條直線還是兩條直線？
生：AD垂直于桌面兩條直線，而且這兩條直線相交.
師：怎么證明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD
……
師：直線和平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們?cè)谥庇^感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納概括結(jié)論.
典例剖析 例1 如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥.
證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m、n.
因?yàn)橹本€a⊥，根據(jù)直線與平面垂直的定義知
a⊥m，a⊥n.
又因?yàn)閎∥a，
所以b⊥m，b⊥n.
又因?yàn)椋琺、n是兩條相交直線，
b⊥. 師：要證b⊥，需證b與內(nèi)任意一條直線的垂直，又a∥b，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a與面內(nèi)任意直線m垂直，這個(gè)結(jié)論顯然成立.
學(xué)生依圖及分析寫(xiě)出證明過(guò)程.
……
師：此結(jié)論可以直接利用，判定直線和平面垂直. 鞏固所知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸能力、書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力.
探索新知 二、直線和平面所成的角
如圖，一條直線PA和一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線的平面的交點(diǎn)A叫做斜足.過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.
一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是0°的角. 教師借助多媒體直接講授，注意直線和平面所成的角是分三種情況定義的. 借助多媒體講授，提高上課效率.
典例剖析 例2 如圖，在正方體ABCD – A1B1C1D1中，求A 1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：連結(jié)BC1交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)A1O.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，因?yàn)锳1B1⊥B1C1， A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因?yàn)锽C1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，
，，
所以，
∠BA1O = 30°
因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°. 師：此題A1是斜足，要求直線A1B與平面A1B1CD所成的角，關(guān)鍵在于過(guò)B點(diǎn)作出（找到，面A1B1CD的垂線，作出（找到）了面A1B1CD的垂線，直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影就知道了，怎樣過(guò)B作平面A1B1CD的垂線呢？
生：連結(jié)BC1即可.
師：能證明嗎？
學(xué)生分析，教師板書(shū)，共同完成求解過(guò)程. 點(diǎn)拔關(guān)鍵點(diǎn)，突破難點(diǎn)，示范書(shū)寫(xiě)及解題步驟.
隨堂練習(xí) 1．如圖，在三棱錐V–ABC中，VA = VC，AB = BC，求證：VB⊥AC.
2．過(guò)△ABC所在平面外一點(diǎn)P，作PO⊥，垂足為O，連接PA ，PB，PC.
（1）若PA= PB = PC，∠C =90°，則點(diǎn)O是AB邊的 心.
（2）若PA = PB =PC，則點(diǎn)O是△ABC的 心.
（3）若P A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，則點(diǎn)O是△ABC的 . 心.
3．兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？
4．如圖，直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱(chēng)為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，A′C⊥B′D′？
學(xué)生獨(dú)立完成
答案：
1．略
2．（1）AB邊的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)O是△ABC的外心；（3）點(diǎn)O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD. 鞏固所學(xué)知識(shí)
歸納總結(jié) 1．直線和平面垂直的定義判定
2．直線和平面所成的角定義與解答步驟、完善.
3．線線垂直線面垂直 學(xué)生歸納總結(jié)教師補(bǔ)充 鞏固學(xué)習(xí)成果，使學(xué)生逐步養(yǎng)成愛(ài)總結(jié)，會(huì)總結(jié)的習(xí)慣和能力.
課后作業(yè) 2.7 第一課時(shí) 習(xí)案 學(xué)生獨(dú)立完成 強(qiáng)化知識(shí)
提升能力
備選例題
例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，AB = AD，CB = CD，M為BD中點(diǎn)，作AO⊥MC，交MC于O．求證：AO⊥平面BCD．
【解析】連結(jié)AM
∵AB = AD，CB = CD，M為BD中點(diǎn)．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM = M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO 平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC = M，∴AO⊥平面貌BCD．
【評(píng)析】本題為了證明AO⊥平面BCD，先證明了平面BCD內(nèi)的直線垂直于AO所在的平面．這一方法具有典型性，即為了證明線與面的垂直，需要轉(zhuǎn)化為線與線的垂直；為了解決線與線的垂直，又需轉(zhuǎn)化為另一個(gè)線與面的垂直，再化為新的線線垂直．這樣互相轉(zhuǎn)化，螺旋式往復(fù)，最終使問(wèn)題得到解決．
例2 已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD – A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中點(diǎn)F，連接EF交平面ABC1D1于O，連AO．
由已知正方體，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO為所求．
在Rt △EOA中，
，
，
sin∠EAO = ．
所以直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為．
【評(píng)析】求直線和平面所成角的步驟：
（1）作——作出斜線和平面所成的角；
（2）證——證明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角形）
（4）答．
（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）使學(xué)生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；
（2）使學(xué)生掌握直線和平面所成的角求法；
（3）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們?cè)谥庇^感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納、概括結(jié)論.
2．過(guò)程與方法
（1）通過(guò)教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過(guò)程；
（2）探究判定直線與平面垂直的方法.
3．情態(tài)、態(tài)度與價(jià)值觀
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從“感性認(rèn)識(shí)”到“理性認(rèn)識(shí)”過(guò)程中獲取新知.
（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：（1）直線與平面垂直的定義和判定定理；
（2）直線和平面所成的角.
難點(diǎn)：直線與平面垂直判定定理的探究.
教學(xué)過(guò)程 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
新課導(dǎo)入 問(wèn)題：直線和平面平行的判定方法有幾種？ 師投影問(wèn)題，學(xué)生回答.
生：可用定義可判斷，也可依判定定理判斷. 復(fù)習(xí)鞏固
探索新知 一、直線和平面垂直的定義、畫(huà)法
如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說(shuō)直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們惟一的公共點(diǎn)P叫做垂足.
畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表不平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖.
師：日常生活中我們對(duì)直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識(shí)，如旗桿與地面，橋柱與水面等，你能舉出更多的例子來(lái)嗎？
師：在陽(yáng)光下觀察，直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關(guān)系如何？
生：旗桿與地面內(nèi)任意一條經(jīng)B的直線垂直.
師：那么旗桿所在直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線位置關(guān)系如何，依據(jù)是什么？（圖）
生：垂直，依據(jù)是異面直線垂直的定義.
師：你能?chē)L試給線面垂直下定義嗎？
……
師：能否將任意直線改為無(wú)數(shù)條直線？學(xué)生找一反例說(shuō)明. 培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們?cè)谥庇^感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納概括結(jié)論.
探索新知 二、直線和平面垂直的判定
1．試驗(yàn) 如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.
（1）折痕AD與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？
2．直線與平面垂直的判定定理：
一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.
思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為一條直線或兩條平行直線？ 師：下面請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的小紙片，我們一起來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，（投影問(wèn)題）.
學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，然后回答問(wèn)題.
生：當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，AD所在直線與桌面所在平面垂直.
師：此時(shí)AD垂直上的一條直線還是兩條直線？
生：AD垂直于桌面兩條直線，而且這兩條直線相交.
師：怎么證明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD
……
師：直線和平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們?cè)谥庇^感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納概括結(jié)論.
典例剖析 例1 如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥.
證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m、n.
因?yàn)橹本€a⊥，根據(jù)直線與平面垂直的定義知
a⊥m，a⊥n.
又因?yàn)閎∥a，
所以b⊥m，b⊥n.
又因?yàn)椋琺、n是兩條相交直線，
b⊥. 師：要證b⊥，需證b與內(nèi)任意一條直線的垂直，又a∥b，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a與面內(nèi)任意直線m垂直，這個(gè)結(jié)論顯然成立.
學(xué)生依圖及分析寫(xiě)出證明過(guò)程.
……
師：此結(jié)論可以直接利用，判定直線和平面垂直. 鞏固所知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸能力、書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力.
探索新知 二、直線和平面所成的角
如圖，一條直線PA和一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線的平面的交點(diǎn)A叫做斜足.過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.
一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是0°的角. 教師借助多媒體直接講授，注意直線和平面所成的角是分三種情況定義的. 借助多媒體講授，提高上課效率.
典例剖析 例2 如圖，在正方體ABCD – A1B1C1D1中，求A 1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：連結(jié)BC1交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)A1O.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，因?yàn)锳1B1⊥B1C1， A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因?yàn)锽C1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，
，，
所以，
∠BA1O = 30°
因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°. 師：此題A1是斜足，要求直線A1B與平面A1B1CD所成的角，關(guān)鍵在于過(guò)B點(diǎn)作出（找到，面A1B1CD的垂線，作出（找到）了面A1B1CD的垂線，直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影就知道了，怎樣過(guò)B作平面A1B1CD的垂線呢？
生：連結(jié)BC1即可.
師：能證明嗎？
學(xué)生分析，教師板書(shū)，共同完成求解過(guò)程. 點(diǎn)拔關(guān)鍵點(diǎn)，突破難點(diǎn)，示范書(shū)寫(xiě)及解題步驟.
隨堂練習(xí) 1．如圖，在三棱錐V–ABC中，VA = VC，AB = BC，求證：VB⊥AC.
2．過(guò)△ABC所在平面外一點(diǎn)P，作PO⊥，垂足為O，連接PA ，PB，PC.
（1）若PA= PB = PC，∠C =90°，則點(diǎn)O是AB邊的 心.
（2）若PA = PB =PC，則點(diǎn)O是△ABC的 心.
（3）若P A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，則點(diǎn)O是△ABC的 . 心.
3．兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？
4．如圖，直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱(chēng)為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，A′C⊥B′D′？
學(xué)生獨(dú)立完成
答案：
1．略
2．（1）AB邊的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)O是△ABC的外心；（3）點(diǎn)O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD. 鞏固所學(xué)知識(shí)
歸納總結(jié) 1．直線和平面垂直的定義判定
2．直線和平面所成的角定義與解答步驟、完善.
3．線線垂直線面垂直 學(xué)生歸納總結(jié)教師補(bǔ)充 鞏固學(xué)習(xí)成果，使學(xué)生逐步養(yǎng)成愛(ài)總結(jié)，會(huì)總結(jié)的習(xí)慣和能力.
課后作業(yè) 2.7 第一課時(shí) 習(xí)案 學(xué)生獨(dú)立完成 強(qiáng)化知識(shí)
提升能力
備選例題
例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，AB = AD，CB = CD，M為BD中點(diǎn)，作AO⊥MC，交MC于O．求證：AO⊥平面BCD．
【解析】連結(jié)AM
∵AB = AD，CB = CD，M為BD中點(diǎn)．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM = M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO 平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC = M，∴AO⊥平面貌BCD．
【評(píng)析】本題為了證明AO⊥平面BCD，先證明了平面BCD內(nèi)的直線垂直于AO所在的平面．這一方法具有典型性，即為了證明線與面的垂直，需要轉(zhuǎn)化為線與線的垂直；為了解決線與線的垂直，又需轉(zhuǎn)化為另一個(gè)線與面的垂直，再化為新的線線垂直．這樣互相轉(zhuǎn)化，螺旋式往復(fù)，最終使問(wèn)題得到解決．
例2 已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD – A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中點(diǎn)F，連接EF交平面ABC1D1于O，連AO．
由已知正方體，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO為所求．
在Rt △EOA中，
，
，
sin∠EAO = ．
所以直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為．
【評(píng)析】求直線和平面所成角的步驟：
（1）作——作出斜線和平面所成的角；
（2）證——證明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角形）
（4）答．
