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          從各版課標教材的比較談初中函數(shù)教學(xué)
          瀏覽次數(shù):次      發(fā)布時間:2019-06-10       發(fā)布人:馬小龍
          從各版課標教材的比較談初中函數(shù)教學(xué)
          函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,是代數(shù)的“紐帶”,代數(shù)式、方程、不等式、數(shù)列、微積分等都與函數(shù)知識有直接的聯(lián)系。同時,函數(shù)在物理、化學(xué)等自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,在解決生產(chǎn)生活中的實際問題時,也往往采用函數(shù)作為建模的基本工具。另外,函數(shù)知識的學(xué)習(xí)對學(xué)生思維能力的發(fā)展具有重要意義,從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變,是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開始的。因此,函數(shù)的教學(xué)非常重要。課改以來,各版課標教材對于函數(shù)內(nèi)容的處理也非常重視,百花齊放,各有特色。本文將對一些版本的初中數(shù)學(xué)課標教材的函數(shù)內(nèi)容的處理進行比較分析,并以此為依托,對如何進行初中函數(shù)教學(xué)提出一些思考。
          一、教材處理的比較與分析
          在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(實驗稿)》中,函數(shù)內(nèi)容主要包括“函數(shù)”“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”和“二次函數(shù)”。各個版本課標教材對于這些內(nèi)容的安排呈現(xiàn)了一些共同的特點。  
          1.螺旋上升安排函數(shù)內(nèi)容,分散教學(xué)難點
          為了分散函數(shù)教學(xué)這個傳統(tǒng)的難點,與以往大綱教材將函數(shù)內(nèi)容集中安排在《代數(shù)》第三冊相比,各版課標教材都將函數(shù)內(nèi)容分散處理。下表展示了一些版本教材對于這些內(nèi)容的具體安排。

          可以發(fā)現(xiàn),分散安排、螺旋上升,是各個版本教材對于函數(shù)內(nèi)容安排的一個共同特點。例如,人教版教材按照“一次”和“二次”的數(shù)量關(guān)系,使方程和函數(shù)交替出現(xiàn),即按一次方程(組)、一次函數(shù)、二次方程、二次函數(shù)的順序螺旋上升。這樣處理,可以克服直線式發(fā)展所產(chǎn)生的不易理解消化的弊病,分階段地不斷深化對方程和函數(shù)的理解。在河北教育版教材中,全套書涉及函數(shù)內(nèi)容的章有“數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系(七上第5章)”“函數(shù)(八下第21章)”“一次函數(shù)(八下第25章)”“反比例函數(shù)(九上第30章)”“二次函數(shù)(九下第34章)”等。

          為了克服提前安排函數(shù)內(nèi)容帶來的“難點提前”的問題,各版課標教材也都注意在正式出現(xiàn)函數(shù)概念之前,結(jié)合代數(shù)式、方程、不等式等內(nèi)容,滲透函數(shù)中變化與對應(yīng)的思想,為理解函數(shù)概念做準備。有些版本教材還專門設(shè)置相關(guān)章節(jié),提前講授變量之間的關(guān)系。例如,河北教育版教材在七上就安排了“數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系”一章,將傳統(tǒng)教材中分而設(shè)置的代數(shù)式與函數(shù)的初步知識有機結(jié)合,通過“小麥出粉率”“運裝糧食”“蔬菜價格”“拖拉機耕地”等問題背景,結(jié)合列代數(shù)式、求代數(shù)式的值等,加強對數(shù)量之間關(guān)系的認識,為后續(xù)學(xué)習(xí)進行鋪墊。


          2.提供豐富的函數(shù)例證,幫助學(xué)生形成函數(shù)概念。

          對于函數(shù)的認識,各版教材也基本按照初步認識→一般函數(shù)(函數(shù)概念、表示法)→特殊函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù))的線索展開。各個版本教材在講授函數(shù)概念以及具體的函數(shù)時,都注意采用實例。采用的實例注意聯(lián)系學(xué)生當(dāng)前實際,注意提供解析式、表格、圖象等“多元聯(lián)系表示”。一些版本教材在引入函數(shù)概念時的例子如下表:

          人教版

          路程與時間,售票數(shù)與票房收入,彈簧長度與懸掛重物質(zhì)量,圓面積與半徑,心電圖,人口數(shù)與年份,氣溫與時間

          北師大版

          摩天輪高度與時間,堆放物體總數(shù)與層數(shù),剎車距離與時間,氣溫與時間

          華師大版

          氣溫與時間,利率與存期,波長與頻率,圓面積與半徑

          河北教育版

          飛船高度與時間,折紙厚度與次數(shù),路程與時間,矩形面積與邊長,港口水深與時間,

          江蘇科技版

          路程與時間,蓄水量與水位,搭小魚所需火柴數(shù)與小魚各數(shù),圓面積與半徑

          浙江教育版

          圓面積與半徑,工資與工作時數(shù),火星車速度與時間,跳遠距離與起跳速度

           

          抽象概念的學(xué)習(xí)要從具體例證開始,理解抽象概念需要具體例證的支持。函數(shù)是反映客觀世界變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型,從典型實例出發(fā)引入函數(shù)概念,不僅有利于體現(xiàn)“函數(shù)模型”的思想,也有利于學(xué)生從各種運動變化的具體實例中理解函數(shù)的變化對應(yīng)的思想,利于函數(shù)概念的形成。采用解析式、表格、圖象等“多元聯(lián)系表示”呈現(xiàn)具體實例,也有利于學(xué)生抽象概括出函數(shù)概念的“單值對應(yīng)”的核心,避免產(chǎn)生“只有解析式表示的才是函數(shù)”的誤解。

           

          3.加強函數(shù)與相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系,用函數(shù)觀點統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)內(nèi)容。

           

          函數(shù)、方程、不等式都可以認為是刻畫數(shù)量之間的關(guān)系的,突出它們之間的聯(lián)系也是一些版本教材的特點之一。許多版本的教材都在教科書相關(guān)位置專門設(shè)置小節(jié),講授函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系,從函數(shù)角度提高對方程、不等式等內(nèi)容的認識。具體如下

          人教版

          八上“用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式(包括‘一次函數(shù)與一元一次方程’‘一次函數(shù)與二元一次方程’‘一次函數(shù)與一元一次不等式’三個小節(jié))”;九下“用函數(shù)觀點看一元二次方程”。

          北師大版

          八上“二元一次方程與一次函數(shù)”;八下“一元一次不等式與一次函數(shù)”;九下“二次函數(shù)與一元二次方程”

          河北教育版

          八下“一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系”

          江蘇科技版

          八上“二元一次方程組的圖象解法”;八下“一元一次不等式與一元一次方程中、一次函數(shù)”;九下“二次函數(shù)與一元二次方程”

           

          有些版本教材雖然沒有專門設(shè)節(jié),但也在相關(guān)內(nèi)容中出現(xiàn)了反映函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系的內(nèi)容。例如,華師大版教材和浙江教育版教材在“函數(shù)的應(yīng)用”內(nèi)容中呈現(xiàn)二元一次方程組、一元二次方程的圖象解法等內(nèi)容;河北教育版教材在“二次函數(shù)”一章“函數(shù)的應(yīng)用”一節(jié)涉及二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系的內(nèi)容等。

           

          函數(shù)概念是聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條紐帶,它是覆蓋面廣、有統(tǒng)帥作用的概念。在初中數(shù)學(xué)代數(shù)式、方程、不等式的教學(xué)中,突出函數(shù)的觀點,引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)思想出發(fā)思考和理解相關(guān)內(nèi)容,從而使學(xué)生建立起“以函數(shù)為綱”的體現(xiàn)整體性、聯(lián)系性的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu),對于豐富教學(xué)內(nèi)容、提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思想性、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,是非常有益的:

           

          二、對初中函數(shù)教學(xué)的建議

           

          通過以上比較分析可以現(xiàn),盡管各版教材章節(jié)安排、例題習(xí)題選取等都各不相同,但從整體安排到呈現(xiàn)方式都存在著很大的共性,由此也能反映出不同版本教材編者對于這部分內(nèi)容的理解也是趨同的。因此,只有深入理解教材的編寫意圖,把握函數(shù)教學(xué)的核心,才能更好的完成這一部分內(nèi)容的教學(xué)。

           

          1.抓住函數(shù)概念核心,加強概念形成的教學(xué)

           

          函數(shù)是反映客觀世界變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型,反映的是什么樣的規(guī)律呢?這也就是函數(shù)概念的核心的問題??v觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展,從早期幾何觀念下的函數(shù),到十八世紀代數(shù)觀念下的函數(shù),到十九世紀對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù),再到現(xiàn)代的集合論下的函數(shù),眾多數(shù)學(xué)家從幾何、代數(shù)、直至對應(yīng)、集合的角度,不斷賦予函數(shù)概念以新的思想,逐漸形成了現(xiàn)代函數(shù)的定義形式。而在初中學(xué)段引入的函數(shù)概念,是從運動變化的觀點出發(fā),用“變量”來描述函數(shù):“在一個變化過程中,如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與它對應(yīng),則稱x為自變量,y為x的函數(shù)”。分析這個定義對函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述,可以發(fā)現(xiàn),它強調(diào)了近代函數(shù)定義中的“對應(yīng)”,并且明確了“y對x是單值對應(yīng)”,這又是吸收了現(xiàn)代函數(shù)概念中對“映射”的要求,但是沒有從“集合”角度描述函數(shù)。因此可以認為,初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念的核心,是函數(shù)概念三要素中的對應(yīng)關(guān)系,并且明確其為“單值對應(yīng)”關(guān)系。這主要包括了兩層含義:第一,兩個變量是互相聯(lián)系的,一個變量變化時,另一個變量也發(fā)生變化;第二,函數(shù)與自變量之間是單值對應(yīng)關(guān)系,自變量的值確定后,函數(shù)的值是唯一確定的。

           

          函數(shù)概念具有內(nèi)容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣性等特點。學(xué)生初次接觸函數(shù)概念時,涉及到很多復(fù)雜的層次,包括:(1)在一個“變化”過程中;(2)存在“兩個”變量;(3)這兩個變量具有一定的“聯(lián)系”;(4)一個變量的變化會引起另一個變量也“隨之”變化;(5)兩個變量存在“單值對應(yīng)”的關(guān)系。這將直接導(dǎo)致學(xué)生在概括函數(shù)概念時出現(xiàn)障礙。另外,學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前,接觸的基本上是常量數(shù)學(xué)的內(nèi)容,是靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識。而函數(shù)研究的是變量與變量之間的關(guān)系,其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個量的相互聯(lián)系之中的。因此,函數(shù)概念形成中的抽象與概括以及對“單值對應(yīng)”的理解也就成為函數(shù)概念教學(xué)的難點。

           

          學(xué)生理解和掌握概念的過程實際上是掌握同類事物的共同、本質(zhì)屬性的過程,概念形成和概念同化反映了學(xué)生掌握概念的兩種不同心理過程。根據(jù)中學(xué)生的認知特點,掌握概念的方式,應(yīng)更多的采用概念形成,即從典型、豐富的具體例子出發(fā),學(xué)生經(jīng)過自己的實踐活動,從中歸納、概括出一類事物的共同本質(zhì)特征,從而理解和掌握概念。為了幫助學(xué)生形成函數(shù)概念,教學(xué)中要注意“舉三反一”——通過給學(xué)生大量客觀世界中反映這種變化規(guī)律的實例(解析式的、圖象的、表格的),讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)生發(fā)展過程”,為學(xué)生提供獨立概括概念的機會,經(jīng)過分析、綜合、比較而概括出函數(shù)概念“單值對應(yīng)”的本質(zhì)屬性。在此基礎(chǔ)上,再“舉一反三”——用學(xué)生得到的函數(shù)概念再去看其他的對應(yīng)問題,是不是符合函數(shù)概念的“單值對應(yīng)”。在這一過程中,要注意恰當(dāng)?shù)厥褂梅蠢柟虒W(xué)生對于函數(shù)概念的理解。

           

          同樣,對于特殊的函數(shù)(如正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等),也要注意把握其概念的核心,注意概念的形成的教學(xué)。理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ),學(xué)生的概念理解不清就無法進一步學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。對于函數(shù)概念教學(xué)的重要性要有充分的認識,要舍得花時間、花力氣。

           

          2.加強研究函數(shù)的一般方法的引導(dǎo)

           

          如前所述,對于函數(shù)這部分內(nèi)容,各個版本課標教材都是按照從一般到特殊的線索展開,對于一般函數(shù),要研究它的概念、表示法、圖象等;對于特殊函數(shù),要研究它們的概念,圖象和性質(zhì)以及其他一些相關(guān)問題。仔細比較各個版本的教材,可以發(fā)現(xiàn)教材對于各個部分內(nèi)容的處理思路、呈現(xiàn)方式也是基本一致的,其中存在著很多研究方法的聯(lián)系。

           

          例如,對于反比例函數(shù)概念的教學(xué),大多經(jīng)歷這樣的過程:從一些具體實例引入(包括勻速運動路程固定,速度與時間的關(guān)系;商品總價固定,單價與商品數(shù)量的關(guān)系;長方形面積固定,長與寬的關(guān)系;等等);讓學(xué)生概括其中的共同本質(zhì)特征(函數(shù)關(guān)系,反比例關(guān)系);下定義(給出反比例函數(shù)的文字和符號描述);辨析概念(從反比例關(guān)系、函數(shù)兩方面辨析概念,注意反例的使用);例題(給出用概念作判斷的操作步驟);反思(與正比例函數(shù)、一次函數(shù)作比較,納入概念系統(tǒng))等。這個過程實際上體現(xiàn)了概念教學(xué)的幾個基本環(huán)節(jié):

           

          ?           概念的引入(從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入)

          ?           概念的形成(提供典型豐富的具體例證,概括其本質(zhì)屬性)

          ?           概念的明確(準確的數(shù)學(xué)語言描述概念的內(nèi)涵與外延)

          ?           概念的表示(用數(shù)學(xué)符號表示,這是數(shù)學(xué)概念的特色)

          ?           概念的鞏固和應(yīng)用(以實例(正例、反例)為載體分析關(guān)鍵詞的含義,應(yīng)用概念作判斷)。

           

          實際上,相關(guān)的函數(shù)概念的教學(xué)都要經(jīng)歷這樣的幾個過程。因此在教學(xué)過程中,適時地給他們一些“先行組織者”,加以研究方法的引導(dǎo),對于學(xué)生理解相關(guān)概念是大有裨益的,可以起到事半功倍的效果。

          再如,對于幾種特殊函數(shù)性質(zhì)的討論,也有很多研究方法的聯(lián)系。無論是對于正比例函數(shù),還是一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù),都要研究以下問題:

           

          ?           研究的內(nèi)容:自變量取值范圍、函數(shù)的圖象、函數(shù)的增減性等;

          ?           研究的方法:“三步曲”——畫函數(shù)圖象,觀察歸納特征,數(shù)學(xué)語言描述性質(zhì);

          ?           相關(guān)的問題:圖象與坐標軸的交點、何時函數(shù)值大于零或小于零等。

           

          這些內(nèi)容,反映了我們研究函數(shù)問題的“基本套路”。在開始對特殊函數(shù)的研究中,需要教師遵循這個套路,并能適時歸納和總結(jié)。在后續(xù)對其他函數(shù)的研究中,這個先行組織者就能起到“導(dǎo)游圖”的作用,為將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容提供了一個框架或線索,使學(xué)生對學(xué)習(xí)進程心中有數(shù),有助于學(xué)生完成后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

           

          3.注意函數(shù)思想的滲透,用函數(shù)觀點統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)內(nèi)容

           

          客觀世界的事物是運動變化的、相互制約的,相互之間既有聯(lián)系又有矛盾,從而推動著事物向前發(fā)展。這種關(guān)系在數(shù)學(xué)中集中反映在函數(shù)和函數(shù)思想上。在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)要突出函數(shù)的內(nèi)容,是數(shù)學(xué)家們長期實踐后得出的結(jié)論??巳R因在為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起草的《米蘭大綱》(1905)中明確提出:“應(yīng)將養(yǎng)成函數(shù)思想和空間觀察能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)”;在其著作《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》中,他進一步強調(diào)用近代數(shù)學(xué)的觀點來改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容,主張加強函數(shù)和微積分的教學(xué),改革和充實代數(shù)的內(nèi)容。

           

          函數(shù)描寫運動,刻畫一個變量隨著另一個變量的變化,給出一個數(shù)集到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系。變化與對應(yīng)是函數(shù)思想的核心內(nèi)容,而變量思想是函數(shù)思想的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)思維的發(fā)展過程中,由“常量”到“變量”是一個質(zhì)的轉(zhuǎn)變,發(fā)展學(xué)生對變量概念的理解需要一個較長的過程。這就要求教師在教學(xué)中要挖掘知識中蘊含的函數(shù)思想,有意識、有計劃、有目的地進行函數(shù)思想方法的培養(yǎng),潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學(xué)知識之中的函數(shù)思想方法。

           

          首先,在函數(shù)概念教學(xué)之前,需要提前滲透變化與對應(yīng)的思想。在初中階段,由具體的數(shù)過渡到用字母表示數(shù),再由字母過渡到代數(shù)式、方程及簡單的不等式等,都需要不斷滲透變量思想的教學(xué),在“變”與“不變”的辯證思想教學(xué)中強化學(xué)生的變量意識。例如,在有理數(shù)的運算中,可以通過讓學(xué)生進行“對不同的數(shù)加上同一個數(shù)得到不同的結(jié)果”的練習(xí),滲透集合、對應(yīng)、根據(jù)法則由自變量求函數(shù)值;在進行“求代數(shù)式的值”的教學(xué)時,可以通過指出“字母每取一個值,代數(shù)式就有唯一確定的值”以及進行一些相應(yīng)練習(xí)滲透對應(yīng)的思想;通過討論整式、分式、根式中字母的取值范圍,可以滲透了函數(shù)的定義域;等等。這樣做,將靜態(tài)的知識模式演變?yōu)閯討B(tài)的討論,賦予了函數(shù)的形式,讓學(xué)生以運動的觀點去領(lǐng)會知識,這是發(fā)展函數(shù)思想的重要途徑。

           

          其次,在進行函數(shù)內(nèi)容教學(xué)時,要適時明確函數(shù)思想。在進行一般函數(shù)概念教學(xué)時,要把函數(shù)思想明確給學(xué)生,結(jié)合生活中函數(shù)關(guān)系的實例,使學(xué)生對函數(shù)中變化、對應(yīng)的思想有初步理解,這是理性認識的開始。在進行具體初等函數(shù)教學(xué)時,要進一步充實函數(shù)思想的理論內(nèi)容。這時,一方面要繼續(xù)結(jié)合具體函數(shù)概念的建立讓學(xué)生體會函數(shù)的變化對應(yīng)的思想;另一方面要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象的教學(xué),進一步提煉和介紹函數(shù)思想方法。

           

          最后,要注意函數(shù)思想的應(yīng)用,用函數(shù)思想看問題。數(shù)可以看成特殊函數(shù);數(shù)的運算可以看成特殊的二元函數(shù);代數(shù)式可以容易地被改造成一個函數(shù);數(shù)列是特殊的函數(shù);解一元方程就是求一個函數(shù)的零點,解三角形化歸為一個三角函數(shù)的問題;等等。因此,在學(xué)習(xí)函數(shù)概念后,要注意讓學(xué)生以函數(shù)觀點去重新審視相關(guān)問題。例如,方程f(x)=0就是函數(shù)y=f(x)在變化過程中的一個特殊狀態(tài),解方程就是求函數(shù)的零點,從而對方程的研究(像根的性質(zhì)、個數(shù)、分布范圍等)就與對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)研究聯(lián)系起來了。再如,求不等式(x)>0的解集就是考察函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的位置關(guān)系問題,即考慮函數(shù)y=f(x)的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍。由于函數(shù)具有表現(xiàn)的豐富性、變化的過程性等特點,用函數(shù)觀點研究方程、不等式,可以引進運動變化、數(shù)形結(jié)合等思想,這就給方程和不等式的研究開拓了思路和方法.這對理解他們的意義和解決有關(guān)問題都是非常有益的。還可以使學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)得到重新組合,在使知識系統(tǒng)化的過程中,加深對函數(shù)思想的理解和運用。
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