從各版課標教材的比較談初中函數(shù)教學(xué)
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是代數(shù)的“紐帶”，代數(shù)式、方程、不等式、數(shù)列、微積分等都與函數(shù)知識有直接的聯(lián)系。同時，函數(shù)在物理、化學(xué)等自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在解決生產(chǎn)生活中的實際問題時，也往往采用函數(shù)作為建模的基本工具。另外，函數(shù)知識的學(xué)習(xí)對學(xué)生思維能力的發(fā)展具有重要意義，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開始的。因此，函數(shù)的教學(xué)非常重要。課改以來，各版課標教材對于函數(shù)內(nèi)容的處理也非常重視，百花齊放，各有特色。本文將對一些版本的初中數(shù)學(xué)課標教材的函數(shù)內(nèi)容的處理進行比較分析，并以此為依托，對如何進行初中函數(shù)教學(xué)提出一些思考。
一、教材處理的比較與分析
在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》中，函數(shù)內(nèi)容主要包括“函數(shù)”“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”和“二次函數(shù)”。各個版本課標教材對于這些內(nèi)容的安排呈現(xiàn)了一些共同的特點。  
1．螺旋上升安排函數(shù)內(nèi)容，分散教學(xué)難點
為了分散函數(shù)教學(xué)這個傳統(tǒng)的難點，與以往大綱教材將函數(shù)內(nèi)容集中安排在《代數(shù)》第三冊相比，各版課標教材都將函數(shù)內(nèi)容分散處理。下表展示了一些版本教材對于這些內(nèi)容的具體安排。

可以發(fā)現(xiàn)，分散安排、螺旋上升，是各個版本教材對于函數(shù)內(nèi)容安排的一個共同特點。例如，人教版教材按照“一次”和“二次”的數(shù)量關(guān)系，使方程和函數(shù)交替出現(xiàn)，即按一次方程（組）、一次函數(shù)、二次方程、二次函數(shù)的順序螺旋上升。這樣處理，可以克服直線式發(fā)展所產(chǎn)生的不易理解消化的弊病，分階段地不斷深化對方程和函數(shù)的理解。在河北教育版教材中，全套書涉及函數(shù)內(nèi)容的章有“數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系（七上第5章）”“函數(shù)（八下第21章）”“一次函數(shù)（八下第25章）”“反比例函數(shù)（九上第30章）”“二次函數(shù)（九下第34章）”等。

為了克服提前安排函數(shù)內(nèi)容帶來的“難點提前”的問題，各版課標教材也都注意在正式出現(xiàn)函數(shù)概念之前，結(jié)合代數(shù)式、方程、不等式等內(nèi)容，滲透函數(shù)中變化與對應(yīng)的思想，為理解函數(shù)概念做準備。有些版本教材還專門設(shè)置相關(guān)章節(jié)，提前講授變量之間的關(guān)系。例如，河北教育版教材在七上就安排了“數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系”一章，將傳統(tǒng)教材中分而設(shè)置的代數(shù)式與函數(shù)的初步知識有機結(jié)合，通過“小麥出粉率”“運裝糧食”“蔬菜價格”“拖拉機耕地”等問題背景，結(jié)合列代數(shù)式、求代數(shù)式的值等，加強對數(shù)量之間關(guān)系的認識，為后續(xù)學(xué)習(xí)進行鋪墊。


2．提供豐富的函數(shù)例證，幫助學(xué)生形成函數(shù)概念。

對于函數(shù)的認識，各版教材也基本按照初步認識→一般函數(shù)（函數(shù)概念、表示法）→特殊函數(shù)（一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）的線索展開。各個版本教材在講授函數(shù)概念以及具體的函數(shù)時，都注意采用實例。采用的實例注意聯(lián)系學(xué)生當(dāng)前實際，注意提供解析式、表格、圖象等“多元聯(lián)系表示”。一些版本教材在引入函數(shù)概念時的例子如下表：

人教版

路程與時間，售票數(shù)與票房收入，彈簧長度與懸掛重物質(zhì)量，圓面積與半徑，心電圖，人口數(shù)與年份，氣溫與時間

北師大版

摩天輪高度與時間，堆放物體總數(shù)與層數(shù)，剎車距離與時間，氣溫與時間

華師大版

氣溫與時間，利率與存期，波長與頻率，圓面積與半徑

河北教育版

飛船高度與時間，折紙厚度與次數(shù)，路程與時間，矩形面積與邊長，港口水深與時間，

江蘇科技版

路程與時間，蓄水量與水位，搭小魚所需火柴數(shù)與小魚各數(shù)，圓面積與半徑

浙江教育版

圓面積與半徑，工資與工作時數(shù)，火星車速度與時間，跳遠距離與起跳速度

 

抽象概念的學(xué)習(xí)要從具體例證開始，理解抽象概念需要具體例證的支持。函數(shù)是反映客觀世界變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，從典型實例出發(fā)引入函數(shù)概念，不僅有利于體現(xiàn)“函數(shù)模型”的思想，也有利于學(xué)生從各種運動變化的具體實例中理解函數(shù)的變化對應(yīng)的思想，利于函數(shù)概念的形成。采用解析式、表格、圖象等“多元聯(lián)系表示”呈現(xiàn)具體實例，也有利于學(xué)生抽象概括出函數(shù)概念的“單值對應(yīng)”的核心，避免產(chǎn)生“只有解析式表示的才是函數(shù)”的誤解。

 

3．加強函數(shù)與相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，用函數(shù)觀點統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)內(nèi)容。

 

函數(shù)、方程、不等式都可以認為是刻畫數(shù)量之間的關(guān)系的，突出它們之間的聯(lián)系也是一些版本教材的特點之一。許多版本的教材都在教科書相關(guān)位置專門設(shè)置小節(jié)，講授函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系，從函數(shù)角度提高對方程、不等式等內(nèi)容的認識。具體如下

人教版

八上“用函數(shù)觀點看方程（組）與不等式（包括‘一次函數(shù)與一元一次方程’‘一次函數(shù)與二元一次方程’‘一次函數(shù)與一元一次不等式’三個小節(jié)）”；九下“用函數(shù)觀點看一元二次方程”。

北師大版

八上“二元一次方程與一次函數(shù)”；八下“一元一次不等式與一次函數(shù)”；九下“二次函數(shù)與一元二次方程”

河北教育版

八下“一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系”

江蘇科技版

八上“二元一次方程組的圖象解法”；八下“一元一次不等式與一元一次方程中、一次函數(shù)”；九下“二次函數(shù)與一元二次方程”

 

有些版本教材雖然沒有專門設(shè)節(jié)，但也在相關(guān)內(nèi)容中出現(xiàn)了反映函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系的內(nèi)容。例如，華師大版教材和浙江教育版教材在“函數(shù)的應(yīng)用”內(nèi)容中呈現(xiàn)二元一次方程組、一元二次方程的圖象解法等內(nèi)容；河北教育版教材在“二次函數(shù)”一章“函數(shù)的應(yīng)用”一節(jié)涉及二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系的內(nèi)容等。

 

函數(shù)概念是聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條紐帶，它是覆蓋面廣、有統(tǒng)帥作用的概念。在初中數(shù)學(xué)代數(shù)式、方程、不等式的教學(xué)中，突出函數(shù)的觀點，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)思想出發(fā)思考和理解相關(guān)內(nèi)容，從而使學(xué)生建立起“以函數(shù)為綱”的體現(xiàn)整體性、聯(lián)系性的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，對于豐富教學(xué)內(nèi)容、提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思想性、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，是非常有益的：

 

二、對初中函數(shù)教學(xué)的建議

 

通過以上比較分析可以現(xiàn)，盡管各版教材章節(jié)安排、例題習(xí)題選取等都各不相同，但從整體安排到呈現(xiàn)方式都存在著很大的共性，由此也能反映出不同版本教材編者對于這部分內(nèi)容的理解也是趨同的。因此，只有深入理解教材的編寫意圖，把握函數(shù)教學(xué)的核心，才能更好的完成這一部分內(nèi)容的教學(xué)。

 

1．抓住函數(shù)概念核心，加強概念形成的教學(xué)

 

函數(shù)是反映客觀世界變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，反映的是什么樣的規(guī)律呢？這也就是函數(shù)概念的核心的問題?？v觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，從早期幾何觀念下的函數(shù)，到十八世紀代數(shù)觀念下的函數(shù)，到十九世紀對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)，再到現(xiàn)代的集合論下的函數(shù)，眾多數(shù)學(xué)家從幾何、代數(shù)、直至對應(yīng)、集合的角度，不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，逐漸形成了現(xiàn)代函數(shù)的定義形式。而在初中學(xué)段引入的函數(shù)概念，是從運動變化的觀點出發(fā)，用“變量”來描述函數(shù)：“在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，則稱x為自變量，y為x的函數(shù)”。分析這個定義對函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述，可以發(fā)現(xiàn)，它強調(diào)了近代函數(shù)定義中的“對應(yīng)”，并且明確了“y對x是單值對應(yīng)”，這又是吸收了現(xiàn)代函數(shù)概念中對“映射”的要求，但是沒有從“集合”角度描述函數(shù)。因此可以認為，初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念的核心，是函數(shù)概念三要素中的對應(yīng)關(guān)系，并且明確其為“單值對應(yīng)”關(guān)系。這主要包括了兩層含義：第一，兩個變量是互相聯(lián)系的，一個變量變化時，另一個變量也發(fā)生變化；第二，函數(shù)與自變量之間是單值對應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。

 

函數(shù)概念具有內(nèi)容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣性等特點。學(xué)生初次接觸函數(shù)概念時，涉及到很多復(fù)雜的層次，包括：（1）在一個“變化”過程中；（2）存在“兩個”變量；（3）這兩個變量具有一定的“聯(lián)系”；（4）一個變量的變化會引起另一個變量也“隨之”變化；（5）兩個變量存在“單值對應(yīng)”的關(guān)系。這將直接導(dǎo)致學(xué)生在概括函數(shù)概念時出現(xiàn)障礙。另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，接觸的基本上是常量數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識。而函數(shù)研究的是變量與變量之間的關(guān)系，其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個量的相互聯(lián)系之中的。因此，函數(shù)概念形成中的抽象與概括以及對“單值對應(yīng)”的理解也就成為函數(shù)概念教學(xué)的難點。

 

學(xué)生理解和掌握概念的過程實際上是掌握同類事物的共同、本質(zhì)屬性的過程，概念形成和概念同化反映了學(xué)生掌握概念的兩種不同心理過程。根據(jù)中學(xué)生的認知特點，掌握概念的方式，應(yīng)更多的采用概念形成，即從典型、豐富的具體例子出發(fā)，學(xué)生經(jīng)過自己的實踐活動，從中歸納、概括出一類事物的共同本質(zhì)特征，從而理解和掌握概念。為了幫助學(xué)生形成函數(shù)概念，教學(xué)中要注意“舉三反一”——通過給學(xué)生大量客觀世界中反映這種變化規(guī)律的實例（解析式的、圖象的、表格的），讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)生發(fā)展過程”，為學(xué)生提供獨立概括概念的機會，經(jīng)過分析、綜合、比較而概括出函數(shù)概念“單值對應(yīng)”的本質(zhì)屬性。在此基礎(chǔ)上，再“舉一反三”——用學(xué)生得到的函數(shù)概念再去看其他的對應(yīng)問題，是不是符合函數(shù)概念的“單值對應(yīng)”。在這一過程中，要注意恰當(dāng)?shù)厥褂梅蠢柟虒W(xué)生對于函數(shù)概念的理解。

 

同樣，對于特殊的函數(shù)（如正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等），也要注意把握其概念的核心，注意概念的形成的教學(xué)。理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，學(xué)生的概念理解不清就無法進一步學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。對于函數(shù)概念教學(xué)的重要性要有充分的認識，要舍得花時間、花力氣。

 

2．加強研究函數(shù)的一般方法的引導(dǎo)

 

如前所述，對于函數(shù)這部分內(nèi)容，各個版本課標教材都是按照從一般到特殊的線索展開，對于一般函數(shù)，要研究它的概念、表示法、圖象等；對于特殊函數(shù)，要研究它們的概念，圖象和性質(zhì)以及其他一些相關(guān)問題。仔細比較各個版本的教材，可以發(fā)現(xiàn)教材對于各個部分內(nèi)容的處理思路、呈現(xiàn)方式也是基本一致的，其中存在著很多研究方法的聯(lián)系。

 

例如，對于反比例函數(shù)概念的教學(xué)，大多經(jīng)歷這樣的過程：從一些具體實例引入（包括勻速運動路程固定，速度與時間的關(guān)系；商品總價固定，單價與商品數(shù)量的關(guān)系；長方形面積固定，長與寬的關(guān)系；等等）；讓學(xué)生概括其中的共同本質(zhì)特征（函數(shù)關(guān)系，反比例關(guān)系）；下定義（給出反比例函數(shù)的文字和符號描述）；辨析概念（從反比例關(guān)系、函數(shù)兩方面辨析概念，注意反例的使用）；例題（給出用概念作判斷的操作步驟）；反思（與正比例函數(shù)、一次函數(shù)作比較，納入概念系統(tǒng)）等。這個過程實際上體現(xiàn)了概念教學(xué)的幾個基本環(huán)節(jié)：

 

?           概念的引入（從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入）

?           概念的形成（提供典型豐富的具體例證，概括其本質(zhì)屬性）

?           概念的明確（準確的數(shù)學(xué)語言描述概念的內(nèi)涵與外延）

?           概念的表示（用數(shù)學(xué)符號表示，這是數(shù)學(xué)概念的特色）

?           概念的鞏固和應(yīng)用（以實例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義，應(yīng)用概念作判斷）。

 

實際上，相關(guān)的函數(shù)概念的教學(xué)都要經(jīng)歷這樣的幾個過程。因此在教學(xué)過程中，適時地給他們一些“先行組織者”，加以研究方法的引導(dǎo)，對于學(xué)生理解相關(guān)概念是大有裨益的，可以起到事半功倍的效果。

再如，對于幾種特殊函數(shù)性質(zhì)的討論，也有很多研究方法的聯(lián)系。無論是對于正比例函數(shù)，還是一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，都要研究以下問題：

 

?           研究的內(nèi)容：自變量取值范圍、函數(shù)的圖象、函數(shù)的增減性等；

?           研究的方法：“三步曲”——畫函數(shù)圖象，觀察歸納特征，數(shù)學(xué)語言描述性質(zhì)；

?           相關(guān)的問題：圖象與坐標軸的交點、何時函數(shù)值大于零或小于零等。

 

這些內(nèi)容，反映了我們研究函數(shù)問題的“基本套路”。在開始對特殊函數(shù)的研究中，需要教師遵循這個套路，并能適時歸納和總結(jié)。在后續(xù)對其他函數(shù)的研究中，這個先行組織者就能起到“導(dǎo)游圖”的作用，為將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容提供了一個框架或線索，使學(xué)生對學(xué)習(xí)進程心中有數(shù)，有助于學(xué)生完成后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

 

3．注意函數(shù)思想的滲透，用函數(shù)觀點統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)內(nèi)容

 

客觀世界的事物是運動變化的、相互制約的，相互之間既有聯(lián)系又有矛盾，從而推動著事物向前發(fā)展。這種關(guān)系在數(shù)學(xué)中集中反映在函數(shù)和函數(shù)思想上。在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)要突出函數(shù)的內(nèi)容，是數(shù)學(xué)家們長期實踐后得出的結(jié)論?？巳R因在為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起草的《米蘭大綱》（1905）中明確提出：“應(yīng)將養(yǎng)成函數(shù)思想和空間觀察能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)”；在其著作《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》中，他進一步強調(diào)用近代數(shù)學(xué)的觀點來改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，主張加強函數(shù)和微積分的教學(xué)，改革和充實代數(shù)的內(nèi)容。

 

函數(shù)描寫運動，刻畫一個變量隨著另一個變量的變化，給出一個數(shù)集到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系。變化與對應(yīng)是函數(shù)思想的核心內(nèi)容，而變量思想是函數(shù)思想的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)思維的發(fā)展過程中，由“常量”到“變量”是一個質(zhì)的轉(zhuǎn)變，發(fā)展學(xué)生對變量概念的理解需要一個較長的過程。這就要求教師在教學(xué)中要挖掘知識中蘊含的函數(shù)思想，有意識、有計劃、有目的地進行函數(shù)思想方法的培養(yǎng)，潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學(xué)知識之中的函數(shù)思想方法。

 

首先，在函數(shù)概念教學(xué)之前，需要提前滲透變化與對應(yīng)的思想。在初中階段，由具體的數(shù)過渡到用字母表示數(shù)，再由字母過渡到代數(shù)式、方程及簡單的不等式等，都需要不斷滲透變量思想的教學(xué)，在“變”與“不變”的辯證思想教學(xué)中強化學(xué)生的變量意識。例如，在有理數(shù)的運算中，可以通過讓學(xué)生進行“對不同的數(shù)加上同一個數(shù)得到不同的結(jié)果”的練習(xí)，滲透集合、對應(yīng)、根據(jù)法則由自變量求函數(shù)值；在進行“求代數(shù)式的值”的教學(xué)時，可以通過指出“字母每取一個值，代數(shù)式就有唯一確定的值”以及進行一些相應(yīng)練習(xí)滲透對應(yīng)的思想；通過討論整式、分式、根式中字母的取值范圍，可以滲透了函數(shù)的定義域；等等。這樣做，將靜態(tài)的知識模式演變?yōu)閯討B(tài)的討論，賦予了函數(shù)的形式，讓學(xué)生以運動的觀點去領(lǐng)會知識，這是發(fā)展函數(shù)思想的重要途徑。

 

其次，在進行函數(shù)內(nèi)容教學(xué)時，要適時明確函數(shù)思想。在進行一般函數(shù)概念教學(xué)時，要把函數(shù)思想明確給學(xué)生，結(jié)合生活中函數(shù)關(guān)系的實例，使學(xué)生對函數(shù)中變化、對應(yīng)的思想有初步理解，這是理性認識的開始。在進行具體初等函數(shù)教學(xué)時，要進一步充實函數(shù)思想的理論內(nèi)容。這時，一方面要繼續(xù)結(jié)合具體函數(shù)概念的建立讓學(xué)生體會函數(shù)的變化對應(yīng)的思想；另一方面要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象的教學(xué)，進一步提煉和介紹函數(shù)思想方法。

 

最后，要注意函數(shù)思想的應(yīng)用，用函數(shù)思想看問題。數(shù)可以看成特殊函數(shù)；數(shù)的運算可以看成特殊的二元函數(shù)；代數(shù)式可以容易地被改造成一個函數(shù)；數(shù)列是特殊的函數(shù)；解一元方程就是求一個函數(shù)的零點，解三角形化歸為一個三角函數(shù)的問題；等等。因此，在學(xué)習(xí)函數(shù)概念后，要注意讓學(xué)生以函數(shù)觀點去重新審視相關(guān)問題。例如，方程f(x)=0就是函數(shù)y=f(x)在變化過程中的一個特殊狀態(tài)，解方程就是求函數(shù)的零點，從而對方程的研究（像根的性質(zhì)、個數(shù)、分布范圍等）就與對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)研究聯(lián)系起來了。再如，求不等式(x)＞0的解集就是考察函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的位置關(guān)系問題，即考慮函數(shù)y=f(x)的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍。由于函數(shù)具有表現(xiàn)的豐富性、變化的過程性等特點，用函數(shù)觀點研究方程、不等式，可以引進運動變化、數(shù)形結(jié)合等思想，這就給方程和不等式的研究開拓了思路和方法．這對理解他們的意義和解決有關(guān)問題都是非常有益的。還可以使學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)得到重新組合，在使知識系統(tǒng)化的過程中，加深對函數(shù)思想的理解和運用。