2.1.2 離散型隨機(jī)變量的分布列
【課標(biāo)要求】
1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.認(rèn)識(shí)分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.
2.掌握離散型隨機(jī)變量分布列的表示方法和性質(zhì).
3.通過(guò)實(shí)例(如彩票抽獎(jiǎng)),理解兩點(diǎn)分布和超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程,并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.
【核心掃描】
1.離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.(重點(diǎn))
2.離散型隨機(jī)變量分布列的表示方法和性質(zhì).(重點(diǎn))
3.兩點(diǎn)分布與超幾何分布的概念及應(yīng)用.(難點(diǎn))
自學(xué)導(dǎo)引
1.離散型隨機(jī)變量的分布列
(1)定義:若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個(gè)值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:
X |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
P |
p1 |
p2 |
… |
pi |
… |
pn |
此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡(jiǎn)稱為X的分布列.
(2)性質(zhì):①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②p(n)i=1.
想一想:如何求離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率.
提示 離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.
2.兩個(gè)特殊分布列
(1)兩點(diǎn)分布列
若隨機(jī)變量X的分布列為
X |
0 |
1 |
P |
1-p |
p |
則稱該分布列為兩點(diǎn)分布列.
若隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列,就稱X服從兩點(diǎn)分布,稱p=P(X=1)為成功概率.
(2)超幾何分布列
一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有k件次品,則事件{X=k}發(fā)生的概率為P(X=k)=N(n),k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,則稱分布列
X |
0 |
1 |
… |
m |
P |
N(n) |
N(n) |
… |
N(n) |
為超幾何分布列,隨機(jī)變量X服從超幾何分布.
試一試:只取兩個(gè)不同值的隨機(jī)變量一定服從兩點(diǎn)分布嗎?舉例說(shuō)明.
提示 只取兩個(gè)不同值的隨機(jī)變量并不一定服從兩點(diǎn)分布.例如:隨機(jī)變量X的分布列如下:
X |
2 |
5 |
P |
0.3 |
0.7 |
則X不服從兩點(diǎn)分布,因?yàn)?/span>X的取值不是0或1.
名師點(diǎn)睛
1.求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟
(1)找出隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值xi(i=1,2,…);
(2)求出取每一個(gè)值的概率P(ξ=xi)=pi;
(3)列出表格.
2.求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)
(1)確定離散型隨機(jī)變量ξ的分布列的關(guān)鍵是要搞清ξ取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件,進(jìn)一步利用排列、組合知識(shí)求出ξ取每一個(gè)值的概率.對(duì)于隨機(jī)變量ξ取值較多或無(wú)窮多時(shí),應(yīng)由簡(jiǎn)單情況先導(dǎo)出一般的通式,從而簡(jiǎn)化過(guò)程.
(2)在求離散型隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí),要充分利用分布列的性質(zhì),這樣不但可以減少運(yùn)算量,還可驗(yàn)證分布列是否正確.
3.兩點(diǎn)分布與超幾何分布
(1)兩點(diǎn)分布又稱為0~1分布或伯努利分布,它反映了隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種可能,如抽取的彩券是否中獎(jiǎng);買回的一件產(chǎn)品是否為正品;一次投籃是否命中等.在兩點(diǎn)分布中,隨機(jī)變量的取值必須是0和1,否則就不是兩點(diǎn)分布.
(2)超幾何分布列給出了一類用數(shù)字模型解決的問題,對(duì)該類問題直接套用公式即可.但
在解決相關(guān)問題時(shí),首先確定隨機(jī)變量X是否服從超幾何分布.
題型一 求離散型隨機(jī)變量的分布列
【例1】 袋中裝有編號(hào)為1~6的同樣大小的6個(gè)球,現(xiàn)從袋中隨機(jī)取3個(gè)球,設(shè)ξ表示取出3個(gè)球中的最大號(hào)碼,求ξ的分布列.
[思路探索] 確定隨機(jī)變量ξ的所有可能取值,分別求出ξ取各值的概率.
[規(guī)律方法] 求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵有三點(diǎn):(1)隨機(jī)變量的取值;(2)每一個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率;(3)所有概率和是否為1來(lái)檢驗(yàn).
【變式1】 從集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,等可能地取出一個(gè).記所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列.
題型二 分布列的性質(zhì)及應(yīng)用
【例2】 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列P5(k)=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常數(shù)a的值;
(2)求P5(3);
(3)求P10(7).
[思路探索] 已知隨機(jī)變量X的分布列,根據(jù)分布列的性質(zhì)確定a及相應(yīng)區(qū)間的概率.
[規(guī)律方法] 應(yīng)熟悉分布列的基本性質(zhì):若隨機(jī)變量X的取值為x1,x2,…,xn,取這些值的概率為P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,則①pi≥0,i=1,2,…,n,②p1+p2+…+pn=1.此外,利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求分布列的正誤,是非常重要的思想方法.③一般地,離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.
【變式2】 已知隨機(jī)變量X只能取三個(gè)值x1,x2,x3,其概率值依次成等差數(shù)列,求公差d的取值范圍.
題型三 超幾何分布
【例3】 在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張,可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品,有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張,每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品;其余6張沒有獎(jiǎng)品.
(1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張,求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列;
(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張,
①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率;
②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值Y元,求Y的分布列.
審題指導(dǎo)
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[規(guī)范解答]
【題后反思】 解決超幾何分布問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時(shí)可以直接利用公式求解,但不能機(jī)械地記憶.
(2)超幾何分布中,只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),從而求出X的分布列.
【變式3】 (2013·南昌高二檢測(cè))從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng).
(1)求所選3人中恰有一名男生的概率;
(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列.
方法技巧 求隨機(jī)變量分布列的技巧
求分布列的步驟:(1)明確隨機(jī)變量ξ取哪些值;(2)求ξ取每一個(gè)值的概率;(3)列成表.其中(1)是基礎(chǔ),(2)是關(guān)鍵.
【示例1】 袋中有4個(gè)紅球,3個(gè)黑球,從袋中隨機(jī)取球,設(shè)取到一個(gè)紅球得2分,取到一個(gè)黑球得1分,從袋中任取4個(gè)球.
(1)求得分X的分布列;
(2)求得分大于6分的概率.
[思路分析] 按照求分布列的三步驟來(lái)求解.