2.1.2 離散型隨機(jī)變量的分布列

【課標(biāo)要求】

1．理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念．認(rèn)識(shí)分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性．

2．掌握離散型隨機(jī)變量分布列的表示方法和性質(zhì)．

3．通過(guò)實(shí)例(如彩票抽獎(jiǎng))，理解兩點(diǎn)分布和超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．

【核心掃描】

1．離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念．(重點(diǎn))

2．離散型隨機(jī)變量分布列的表示方法和性質(zhì)．(重點(diǎn))

3．兩點(diǎn)分布與超幾何分布的概念及應(yīng)用．(難點(diǎn))

 

自學(xué)導(dǎo)引

1．離散型隨機(jī)變量的分布列

(1)定義：若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x₁，x₂，…，x_i，…，x_n，X取每一個(gè)值x_i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x_i)＝p_i，以表格的形式表示如下：

此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列．

(2)性質(zhì)：①p_i≥0，i＝1,2,3，…，n；②p(n)_i＝1.

想一想：如何求離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率．

提示 離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．

2．兩個(gè)特殊分布列

(1)兩點(diǎn)分布列

若隨機(jī)變量X的分布列為

則稱該分布列為兩點(diǎn)分布列．

若隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，稱p＝P(X＝1)為成功概率．

(2)超幾何分布列

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有k件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝N(n)，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*，則稱分布列

為超幾何分布列，隨機(jī)變量X服從超幾何分布．

試一試：只取兩個(gè)不同值的隨機(jī)變量一定服從兩點(diǎn)分布嗎？舉例說(shuō)明．

提示 只取兩個(gè)不同值的隨機(jī)變量并不一定服從兩點(diǎn)分布．例如：隨機(jī)變量X的分布列如下：

則X不服從兩點(diǎn)分布，因?yàn)?/span>X的取值不是0或1.

 

 

 

 

名師點(diǎn)睛

1．求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟

(1)找出隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值x_i(i＝1,2，…)；

(2)求出取每一個(gè)值的概率P(ξ＝x_i)＝p_i；

(3)列出表格．

2．求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

(1)確定離散型隨機(jī)變量ξ的分布列的關(guān)鍵是要搞清ξ取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，進(jìn)一步利用排列、組合知識(shí)求出ξ取每一個(gè)值的概率．對(duì)于隨機(jī)變量ξ取值較多或無(wú)窮多時(shí)，應(yīng)由簡(jiǎn)單情況先導(dǎo)出一般的通式，從而簡(jiǎn)化過(guò)程．

(2)在求離散型隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí)，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以減少運(yùn)算量，還可驗(yàn)證分布列是否正確．

3．兩點(diǎn)分布與超幾何分布

(1)兩點(diǎn)分布又稱為0～1分布或伯努利分布，它反映了隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種可能，如抽取的彩券是否中獎(jiǎng)；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；一次投籃是否命中等．在兩點(diǎn)分布中，隨機(jī)變量的取值必須是0和1，否則就不是兩點(diǎn)分布．

(2)超幾何分布列給出了一類用數(shù)字模型解決的問題，對(duì)該類問題直接套用公式即可．但

在解決相關(guān)問題時(shí)，首先確定隨機(jī)變量X是否服從超幾何分布.

題型一 求離散型隨機(jī)變量的分布列

【例1】 袋中裝有編號(hào)為1～6的同樣大小的6個(gè)球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，設(shè)ξ表示取出3個(gè)球中的最大號(hào)碼，求ξ的分布列．

[思路探索] 確定隨機(jī)變量ξ的所有可能取值，分別求出ξ取各值的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[規(guī)律方法] 求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵有三點(diǎn)：(1)隨機(jī)變量的取值；(2)每一個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率；(3)所有概率和是否為1來(lái)檢驗(yàn)．

【變式1】 從集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)．記所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型二 分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

【例2】 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列P5(k)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．

(1)求常數(shù)a的值；

(2)求P5(3)；

(3)求P10(7).

[思路探索] 已知隨機(jī)變量X的分布列，根據(jù)分布列的性質(zhì)確定a及相應(yīng)區(qū)間的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[規(guī)律方法] 應(yīng)熟悉分布列的基本性質(zhì)：若隨機(jī)變量X的取值為x₁，x₂，…，x_n，取這些值的概率為P(X＝x_i)＝p_i，i＝1，2，…，n，則①p_i≥0，i＝1,2，…，n，②p₁＋p₂＋…＋p_n＝1.此外，利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求分布列的正誤，是非常重要的思想方法．③一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．

【變式2】 已知隨機(jī)變量X只能取三個(gè)值x₁，x₂，x₃，其概率值依次成等差數(shù)列，求公差d的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型三 超幾何分布

【例3】 在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒有獎(jiǎng)品．

(1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列；

(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，

①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率；

②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值Y元，求Y的分布列．

審題指導(dǎo) 

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[規(guī)范解答]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【題后反思】 解決超幾何分布問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時(shí)可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶．

(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．

【變式3】 (2013·南昌高二檢測(cè))從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng)．

(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；

(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

方法技巧 求隨機(jī)變量分布列的技巧

求分布列的步驟：(1)明確隨機(jī)變量ξ取哪些值；(2)求ξ取每一個(gè)值的概率；(3)列成表．其中(1)是基礎(chǔ)，(2)是關(guān)鍵．

【示例1】 袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球．

(1)求得分X的分布列；

(2)求得分大于6分的概率．

[思路分析] 按照求分布列的三步驟來(lái)求解．