2．1.1 離散型隨機(jī)變量

 

【課標(biāo)要求】

1．理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義．

2．了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系．

3．會(huì)用離散型隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象．

【核心掃描】

1．隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念．(重點(diǎn))

2．隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系．(易混點(diǎn))

3．用離散型隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象．(難點(diǎn))

自學(xué)導(dǎo)引

1．隨機(jī)變量

(1)定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中，確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．

(2)表示：隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

試一試：下列變量中，不是隨機(jī)變量的是(  )．

A．?dāng)S一枚骰子，所得的點(diǎn)數(shù)

B．一射手射擊一次，擊中的環(huán)數(shù)

C．某日上證收盤指數(shù)

D．標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水在100℃時(shí)會(huì)沸騰

提示 根據(jù)隨機(jī)變量定義知A、B、C為隨機(jī)變量，D不是．故選D.

2．隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系

試一試：一盒乒乓球共15個(gè)，其中有4個(gè)是已用過(guò)的，在比賽時(shí)，某運(yùn)動(dòng)員從中隨機(jī)取了2個(gè)使用，比賽結(jié)束后又放回盒中，你能說(shuō)出此時(shí)盒中已用過(guò)的乒乓球個(gè)數(shù)的所有可能取值嗎？

提示 所取2個(gè)乒乓球中未使用的乒乓球數(shù)可能為0,1,2，所以它的可能值為4,5,6.

3．離散型隨機(jī)變量

所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．

想一想：除了離散型隨機(jī)變量外，還有其他類型的隨機(jī)變量嗎？舉例說(shuō)明．

提示 存在其他類型的隨機(jī)變量，如某種規(guī)格零件的尺寸，人的頭發(fā)長(zhǎng)度，人的身高等等．這些量的取值是一個(gè)取值范圍，均無(wú)法一一列出．

 

 

名師點(diǎn)睛

1．隨機(jī)試驗(yàn)

課本在介紹隨機(jī)變量的概念時(shí)，不加定義地引入了隨機(jī)試驗(yàn)的概念．一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：

①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；

②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；

③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．

這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為了方便起見，也簡(jiǎn)稱試驗(yàn)．

2．隨機(jī)變量的理解

(1)隨機(jī)變量是將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化．事實(shí)上，隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映射為實(shí)數(shù)，函數(shù)是把實(shí)數(shù)映射為實(shí)數(shù)．在函數(shù)的概念中，函數(shù)f(x)的自變量是實(shí)數(shù)x，在隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量X的自變量是隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果．

(2)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一隨機(jī)事件．如：“擲一枚骰子”這一隨機(jī)試驗(yàn)中所得點(diǎn)數(shù)是一隨機(jī)變量ξ，隨機(jī)變量“ξ＝2”，即對(duì)應(yīng)隨機(jī)事件：“擲一枚骰子，出現(xiàn)2

點(diǎn)”；而“ξ＝3或ξ＝4”，即對(duì)應(yīng)隨機(jī)事件：“擲一枚骰子出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”.

題型一 隨機(jī)變量的概念

【例1】 指出下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由．

①任意擲一枚均勻硬幣5次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)；

②投一顆質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(最上面的數(shù)字)；

③某個(gè)人的屬相隨年齡的變化；

④在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，水在0 ℃時(shí)結(jié)冰．

[思路探索] 根據(jù)隨機(jī)變量的概念判斷．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[規(guī)律方法] 解答本類題目的關(guān)鍵在于分析變量是否滿足隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果為一個(gè)映射，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)，但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能取的值，而不知道在一次試驗(yàn)中哪一個(gè)結(jié)果發(fā)生，隨機(jī)變量取哪一個(gè)值．

【變式1】 若10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是(  )．

A．取到產(chǎn)品的件數(shù)  B．取到正品的概率

C．取到次品的件數(shù)  D．取到次品的概率

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型二 離散型隨機(jī)變量的判定

【例2】 指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由．

(1)從10張已編好號(hào)碼的卡片(從1號(hào)到10號(hào))中任取一張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)；

(2)一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)；

(3)某林場(chǎng)樹木最高達(dá)30 m，則此林場(chǎng)中樹木的高度；

(4)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差．

[思路探索] 本題主要考查離散型隨機(jī)變量的概念，解決本題首先明確是否是隨機(jī)變量，然后根據(jù)定義判斷．如果能夠一一列出就是離散型隨機(jī)變量．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[規(guī)律方法] 離散型隨機(jī)變量的判定方法

判斷一個(gè)隨機(jī)變量X是否為離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵是判斷隨機(jī)變量X的所有取值是否可以一一列出，其具體方法如下：

(1)明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；

(2)將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化；

(3)確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是．

【變式2】 ①某座大橋一天經(jīng)過(guò)的中華牌轎車的輛數(shù)為X；

②某網(wǎng)站中歌曲《愛(ài)我中華》一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)為X；

③射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分．

上述問(wèn)題中的X是離散型隨機(jī)變量的是(  )．

A．①②③  B．①②  C．①③  D．②③

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型三 隨機(jī)變量的應(yīng)用

【例3】 寫出下列各隨機(jī)變量的可能取值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

(1)拋擲甲、乙兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和Y.

(2)設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)5盞信號(hào)燈，Y表示汽車首次停下時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)，寫出Y所有可能取值，并說(shuō)明這些值所表示的試驗(yàn)結(jié)果．

(3)一個(gè)袋中裝有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)為ξ.

審題指導(dǎo) 

→→

[規(guī)范解答]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【題后反思】 隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果為自變量的一個(gè)函數(shù)，即隨機(jī)變量的取值本質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)，起到了描述隨機(jī)事件的作用．這些數(shù)是預(yù)先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一個(gè)值，這便是“隨機(jī)”的本源．

【變式3】 寫出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明隨機(jī)變量的取值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

(1)從一個(gè)裝有編號(hào)為1號(hào)到10號(hào)的10個(gè)球的袋中，任取1球，被取出的球的編號(hào)為X；

(2)在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量．

(3)一袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

誤區(qū)警示 未理解題意，審題不清致錯(cuò)

【示例】 小王參加一次比賽，比賽共設(shè)三關(guān)，第一、二關(guān)各有兩個(gè)必答題，如果每關(guān)兩個(gè)問(wèn)題都答對(duì)，可進(jìn)入下一關(guān)，第三關(guān)有三個(gè)問(wèn)題，只要答對(duì)其中兩個(gè)問(wèn)題，則闖關(guān)成功．每過(guò)一關(guān)可一次性獲得價(jià)值分別為1 000元，3 000元，6 000元的獎(jiǎng)品(不重復(fù)得獎(jiǎng))，用ξ表示小王所獲獎(jiǎng)品的價(jià)值，寫出ξ的可能取值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解清楚隨機(jī)變量所有可能的取值及其取每一個(gè)值時(shí)

對(duì)應(yīng)的意義，不要漏掉或多取值，同時(shí)要找好對(duì)應(yīng)關(guān)系.