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          離散型隨機(jī)變量
          瀏覽次數(shù):次      發(fā)布時(shí)間:2019-06-13       發(fā)布人:馬伏剛

          2.1.1 離散型隨機(jī)變量

           

          【課標(biāo)要求】

          1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義.

          2.了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.

          3.會(huì)用離散型隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象.

          【核心掃描】

          1.隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念.(重點(diǎn))

          2.隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系.(易混點(diǎn))

          3.用離散型隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象.(難點(diǎn))

          自學(xué)導(dǎo)引

          1隨機(jī)變量

          (1)定義:在隨機(jī)試驗(yàn)中,確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示.在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下,數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.像這種隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量.

          (2)表示:隨機(jī)變量常用字母X,Y,ξη,表示.

          試一試:下列變量中,不是隨機(jī)變量的是(  )

          A.?dāng)S一枚骰子,所得的點(diǎn)數(shù)

          B.一射手射擊一次,擊中的環(huán)數(shù)

          C.某日上證收盤指數(shù)

          D.標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,水在100時(shí)會(huì)沸騰

          提示 根據(jù)隨機(jī)變量定義知A、BC為隨機(jī)變量,D不是.故選D.

          2隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系

          相同點(diǎn)

          隨機(jī)變量與函數(shù)都是一種映射

          區(qū)別

          隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射

          函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射

          聯(lián)系

          隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域

          隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域

          試一試:一盒乒乓球共15個(gè),其中有4個(gè)是已用過(guò)的,在比賽時(shí),某運(yùn)動(dòng)員從中隨機(jī)取了2個(gè)使用,比賽結(jié)束后又放回盒中,你能說(shuō)出此時(shí)盒中已用過(guò)的乒乓球個(gè)數(shù)的所有可能取值嗎?

          提示 所取2個(gè)乒乓球中未使用的乒乓球數(shù)可能為0,1,2,所以它的可能值為4,5,6.

          3離散型隨機(jī)變量

          所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量,稱為離散型隨機(jī)變量.

          想一想:除了離散型隨機(jī)變量外,還有其他類型的隨機(jī)變量嗎?舉例說(shuō)明.

          提示 存在其他類型的隨機(jī)變量,如某種規(guī)格零件的尺寸,人的頭發(fā)長(zhǎng)度,人的身高等等.這些量的取值是一個(gè)取值范圍,均無(wú)法一一列出.

           

           

          名師點(diǎn)睛

          1隨機(jī)試驗(yàn)

          課本在介紹隨機(jī)變量的概念時(shí),不加定義地引入了隨機(jī)試驗(yàn)的概念.一般地,一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件:

          試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行;

          試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè);

          每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

          這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),為了方便起見,也簡(jiǎn)稱試驗(yàn).

          2隨機(jī)變量的理解

          (1)隨機(jī)變量是將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化.事實(shí)上,隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射,隨機(jī)變量是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映射為實(shí)數(shù),函數(shù)是把實(shí)數(shù)映射為實(shí)數(shù).在函數(shù)的概念中,函數(shù)f(x)的自變量是實(shí)數(shù)x,在隨機(jī)變量的概念中,隨機(jī)變量X的自變量是隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果.

          (2)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一隨機(jī)事件.如:擲一枚骰子這一隨機(jī)試驗(yàn)中所得點(diǎn)數(shù)是一隨機(jī)變量ξ,隨機(jī)變量ξ2”,即對(duì)應(yīng)隨機(jī)事件:擲一枚骰子,出現(xiàn)2

          點(diǎn);而ξ3ξ4”,即對(duì)應(yīng)隨機(jī)事件:擲一枚骰子出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”.

          題型一 隨機(jī)變量的概念

          【例1 指出下列變量中,哪些是隨機(jī)變量,哪些不是隨機(jī)變量,并說(shuō)明理由.

          任意擲一枚均勻硬幣5次,出現(xiàn)正面向上的次數(shù);

          投一顆質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(最上面的數(shù)字)

          某個(gè)人的屬相隨年齡的變化;

          在標(biāo)準(zhǔn)狀況下,水在0 ℃時(shí)結(jié)冰.

          [思路探索] 根據(jù)隨機(jī)變量的概念判斷.

           

           

           

           

           

           

           

           

           

          [規(guī)律方法]解答本類題目的關(guān)鍵在于分析變量是否滿足隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果為一個(gè)映射,即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù),但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能取的值,而不知道在一次試驗(yàn)中哪一個(gè)結(jié)果發(fā)生,隨機(jī)變量取哪一個(gè)值.

          【變式1 10件產(chǎn)品中有3件次品,從中任取2件,可作為隨機(jī)變量的是(  )

          A.取到產(chǎn)品的件數(shù)  B.取到正品的概率

          C.取到次品的件數(shù)  D.取到次品的概率

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

          題型二 離散型隨機(jī)變量的判定

          【例2 指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量,并說(shuō)明理由.

          (1)10張已編好號(hào)碼的卡片(1號(hào)到10號(hào))中任取一張,被取出的卡片的號(hào)數(shù);

          (2)一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球,從中任取3個(gè),其中所含白球的個(gè)數(shù);

          (3)某林場(chǎng)樹木最高達(dá)30 m,則此林場(chǎng)中樹木的高度;

          (4)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差.

          [思路探索] 本題主要考查離散型隨機(jī)變量的概念,解決本題首先明確是否是隨機(jī)變量,然后根據(jù)定義判斷.如果能夠一一列出就是離散型隨機(jī)變量.

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

          [規(guī)律方法]離散型隨機(jī)變量的判定方法

          判斷一個(gè)隨機(jī)變量X是否為離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵是判斷隨機(jī)變量X的所有取值是否可以一一列出,其具體方法如下:

          (1)明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;

          (2)將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化;

          (3)確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量,否則不是.

          【變式2 ①某座大橋一天經(jīng)過(guò)的中華牌轎車的輛數(shù)為X;

          某網(wǎng)站中歌曲《愛(ài)我中華》一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)為X

          射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)得1分,未擊中目標(biāo)得0分,用X表示該射手在一次射擊中的得分.

          上述問(wèn)題中的X是離散型隨機(jī)變量的是(  )

          A①②③  B①②  C①③  D②③

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

          題型三 隨機(jī)變量的應(yīng)用

          【例3 寫出下列各隨機(jī)變量的可能取值,并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.

          (1)拋擲甲、乙兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和Y.

          (2)設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)5盞信號(hào)燈,Y表示汽車首次停下時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù),寫出Y所有可能取值,并說(shuō)明這些值所表示的試驗(yàn)結(jié)果.

          (3)一個(gè)袋中裝有5個(gè)同樣大小的球,編號(hào)為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球,被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)為ξ.

          審題指導(dǎo) 

          →→

          [規(guī)范解答]

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

          【題后反思】 隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果為自變量的一個(gè)函數(shù),即隨機(jī)變量的取值本質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù),起到了描述隨機(jī)事件的作用.這些數(shù)是預(yù)先知道的所有可能的值,而不知道究竟是哪一個(gè)值,這便是隨機(jī)的本源.

          【變式3 寫出下列隨機(jī)變量可能的取值,并說(shuō)明隨機(jī)變量的取值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.

          (1)從一個(gè)裝有編號(hào)為1號(hào)到10號(hào)的10個(gè)球的袋中,任取1球,被取出的球的編號(hào)為X

          (2)在含有10件次品的100件產(chǎn)品中,任意抽取4件,可能含有的次品的件數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.

          (3)一袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球,從中任取3個(gè),其中所含白球的個(gè)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量.

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

          誤區(qū)警示 未理解題意,審題不清致錯(cuò)

          【示例】 小王參加一次比賽,比賽共設(shè)三關(guān),第一、二關(guān)各有兩個(gè)必答題,如果每關(guān)兩個(gè)問(wèn)題都答對(duì),可進(jìn)入下一關(guān),第三關(guān)有三個(gè)問(wèn)題,只要答對(duì)其中兩個(gè)問(wèn)題,則闖關(guān)成功.每過(guò)一關(guān)可一次性獲得價(jià)值分別為1 000元,3 000元,6 000元的獎(jiǎng)品(不重復(fù)得獎(jiǎng)),用ξ表示小王所獲獎(jiǎng)品的價(jià)值,寫出ξ的可能取值.

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解清楚隨機(jī)變量所有可能的取值及其取每一個(gè)值時(shí)

          對(duì)應(yīng)的意義,不要漏掉或多取值,同時(shí)要找好對(duì)應(yīng)關(guān)系.

           


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